Теорема Левінсона — визначає умови того, що дві системи асимптотично еквівалентні.
Формулювання теореми[ред. | ред. код]
Нехай розв'язки системи
де — стала -матриця, обмежені на .
Тоді система
де та
асимптотично еквівалентна системі .
(Ідея викладеного нижче доведення належить Брауеру[1])
Оскільки розв'язки системи обмежені, то характеристичні корені матриці задовольняють рівність
причому характеристичні корені з нульовими дійсними частинами мають прості елементарні дільники.
Без обмеження загальності припустимо, що матриця має квазідіагональний вигляд
де та -- відповідно, - та -матриці такі, що
Дійсно, це можна отримати за допомогою простих перетворень та де — стала -матриця, причому взаємно однозначна відповідність між новими інтегральними кривими індукує взаємно однозначну відповідність між старими інтегральними кривими .
Крім того, з граничного відношення при очевидно, випливає граничне відношення
- при .
Нехай — фундаментальна матриця системи нормована в нулі: та
та де та — одиничні матриці відповідних порядків q та p, при тому, очевидно,
Покладемо де
та .
Звідси матрицю Коши можна представити у вигляді:
причому за умови маємо
при
та
при де - деякі додатні константи.
Використовуючи метод варіації довільних сталих, диференціальне рівняння можна записати в інтегральній формі
де
довільне.
Оскільки матриця абсолютно інтегровна на то всі розв'язки системи обмежені на
і тому невласний інтеграл є збіжним.
Звідси, враховуючи, що наше інтегральне рівняння можна представити у вигляді
Розв'язку системи з початковою умовою співставимо розв'язок системи з початковою умовою
Оскільки розв'язки та повністю визначаються своїми початковими умовами, то формула встановлює однозначну відповідність між множиною всіх розв'язків системи та множиною розв'язків (або її частиною) системи . Зауважимо, що відношення неперервне відносно початкового значення
Покажемо, що відповідність між розв'язками та що визначається формулою є взаємно однозначним та розповсюджується на всю множину розв'язків .
Нехай — фундаментальна матриця системи така, що .Маємо
Але з нерівностей випливає при ;
тому
та в силу леми Гронуолла-Беллмана знаходимо
при
причому константа за оцінкою не залежить від вибору початкового моменту
Очевидно, маємо
Тому з формули отримуємо де причому на основі виводимо
Оскільки матриця абсолютно інтегровна на , то при , отже, в силу початковий момент можна вибрати настільки великим, щоб мала місце нерівність
Надалі будемо вважати фіксованим та припускати наявність нерівності . Звідси та з формули виводимо
Оскільки формули та рівносильні, то для кожного розв'язку системи з початковою умовою
знайдеться тільки один розв'язок системи що відповідає встановленому вище відношенню, а саме, це розв'язок, початкова умова якого визначається формулою
Відповідність між розв'язками та , що встановлюється формулами
та — взаємно однозначна, тобто кожному розв'язку відповідає один і тільки один розв'язок , і навпаки.
Відмітимо, що тривіальному розв'язку відповідає тривіальний розв'язок та в силу лінійності співвідношень та різними розв'язками та системи відповідають різні розв'язки та системи і навпаки.
Для відповідних розв'язків та оцінимо норму їх різниці. Оскільки, це очевидно,
- де визначається формулою , то з формули маємо
Звідси, враховуючи, що
при
на основі оцінок та отримуємо
Враховуючи абсолютну інтегровність матриці при маємо
якщо
Отже,
Таким чином, з нерівності виводимо
тобто системи та асимптотично еквівалентні.
Доведено.
- ↑ Brauer, Nonlinear differential equations with forcing terms, Proc. Amer. Math. Soc. 15, 5 (1964), 758—765
- Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: «Наука», 1967. (рос.)