Теорема Лузіна

В математиці теорема Лузіна стверджує, що довільна вимірна функція є неперервною майже на всій своїй області визначення.

Більш формально, нехай для інтервалу [a, b] функція:

$f:[a,b]\rightarrow \R$

є вимірною. Тоді для довільного $\scriptstyle \varepsilon\ >\ 0$, існує компактна множина $\scriptstyle E\ \subset\ [a,b]$ така, що функція ƒ є неперервною на E і

$\mu ( E^c ) < \varepsilon.$

Тут E^c позначає доповнення E у множині [a, b].

Узагальнення

Нехай $(X,\Sigma,\mu)$ — вимірний простір, де $X$ локально компактний гаусдорфів простір, $\Sigma$ — сигма-алгебра на $X$, що містить борелівську сигма-алгебру, і $\mu$ — деяка регулярна міра. Для $\Sigma$-вимірної функції $f:X\to {\mathbb R}$ виконується твердження:

Для множини $A\in\Sigma$ такої, що $\mu(A)<\infty$ і довільного $\varepsilon>0$ існує компактна множина $K\subset A$ для якої $\mu(A\setminus K)<\varepsilon$, і $f|_K$ — звуження функції на множину K є неперервним.

Література

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.
• Donald L. Cohn: Measure Theory. Birkhäuser, Boston 1980, ISBN 3-7643-3003-1.