Теорема Лузіна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В математиці теорема Лузіна стверджує, що довільна вимірна функція є неперервною майже на всій своїй області визначення.

Більш формально, нехай для інтервалу [ab] функція:

f:[a,b]\rightarrow \R

є вимірною. Тоді для довільного \scriptstyle \varepsilon\ >\ 0, існує компактна множина \scriptstyle E\ \subset\ [a,b] така, що функція ƒ є неперервною на E і

\mu ( E^c ) < \varepsilon.

Тут Ec позначає доповнення E у множині [ab].

Узагальнення[ред.ред. код]

Нехай (X,\Sigma,\mu)вимірний простір, де X локально компактний гаусдорфів простір, \Sigmaсигма-алгебра на X, що містить борелівську сигма-алгебру, і \mu — деяка регулярна міра. Для \Sigma-вимірної функції f:X\to {\mathbb R} виконується твердження:

Для множини A\in\Sigma такої, що \mu(A)<\infty і довільного \varepsilon>0 існує компактна множина K\subset A для якої \mu(A\setminus K)<\varepsilon, і f|_K — звуження функції на множину K є неперервним.

Література[ред.ред. код]

  • Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
  • Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.
  • Donald L. Cohn: Measure Theory. Birkhäuser, Boston 1980, ISBN 3-7643-3003-1.