Теорема Ліувіля (комплексний аналіз)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У комплексному аналізі теорема Ліувіля стверджує, що якщо ціла функція f(z) комплексних змінних z= (z_1, . . ., z_n) є обмеженою, тобто

|f(z)|\leqslant M<\infty

то f(z)константа.

Доведення (для випадку \mathbb C^1)[ред.ред. код]

Нехай f(z) обмежена на комплексній площині, тобто

\exist  M  \forall  z  |f(z)|  \le  M

Скористаємося інтегральною формулою Коші для похідної f(z)

f\prime(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C_R}\frac{f(\xi)}{(\xi-z)^2}d\xi Де C_Rколо радіуса R, що містить точку z.

Маємо

|f\prime(z)| \le \frac{1}{2\pi}M\frac{1}{R^2}2\pi R = \frac{M}{R}

Звідси, зважаючи що інтегральна формула Коші справедлива для довільного контура, маємо \lim_{R \to \infty}\frac{M}{R}=0

Томі f\prime(z)=0 і, відповідно, f(z) є константою. Теорема доведена.

Узагальнення[ред.ред. код]

|f(z)|\leqslant C|z|^r
для достатньо великих |z|, то f(z)многочлен від змінних (z_1,\dots, z_n) степеня не вище r.
Доведення для однієї змінної.Визначимо:
g(z)=\begin{cases}\frac{f(z)-f(0)}{z}&z\neq 0\\
f'(0)&z=0
\end{cases}
Оскільки f є цілою функцією, то g теж є цілою, і, зважаючи на обмеження на f, одержуємо
|g(z)|< c_1 + c_2 \cdot |z|^{n-1} < c'\cdot |z|^{n-1}
для достатньо великих |z|.
Якщо припустити, що g є многочленом степеня не більше n-1, то f є многочленом степеня не більше n. Для завершення доведення достатньо використати звичайну теорему Ліувіля і метод математичної індукції.
u(x)<C(1 + |x|^r)
то u(x)гармонічний многочлен від цих змінних.

Твердження для гармонічних функцій[ред.ред. код]

Гармонічна функція u(x,y)\, на всій площині не може бути обмеженою зверху або знизу, якщо вона не стала.

Оскільки дійсна і уявна частини цілої комплексної функції є гармонічними функціями, дане твердження є наслідком твердження теореми для цілих функцій. Можна також дати доведення за допомогою інтеграла Пуассона.

Доведення[ред.ред. код]

Нехай гармонічна функція на всій площині u(x,y)\ge \;A=const . Тоді функція v(x,y)=u(x,y)-A\ge \;0 є також гармонічною на всій площині.
Позначимо через Q(x,y)\, довільну точку площини, p = \sqrt{x^2 + y^2} — відстань від точки Q(x,y)\, до початку координат, і проведемо круг K \, з центром у початку координат такого радіуса R \, , щоб точка Q \, була внутрішньою для цього круга (тобто R > p\, ). В силу гармонічності функції v(x,y)\, зобразимо її в крузі за допомогою інтеграла Пуассона :

v(Q)=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} v(R,\psi)\frac{R^2-p^2}{R^2+p^2-2Rpcos(\psi-\phi)}  \, d\psi  \,

тоді отримаємо

\frac{R-p}{R+p}v(0,0)\le \; v(Q)\le \;\frac{R+p}{R-p}v(0,0) \,

Перейшовши до границі, коли R\to \;\infty\, , матимемо

v(0,0)\le \; v(Q)\le \;v(0,0) \, тобто v(Q)=v(0,0) \, .

В силу довільності точки Q \, звідси випливає, що

u(Q)=v(Q)+A=v(0,0)+A  \, стала на всій площині.

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • М.О.Перестюк,В.В.Маринець (2001). Теорія рівнянь математичної фізики. Київ: Либідь. 
  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
  • Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., ISBN 0763714372