Теорема Морери

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У комплексному аналізі Теорема Морери дає достатні умови аналітичності неперервних комплекснозначних функцій. Названа на честь італійського математика Гіасінто Морери.

Твердження[ред.ред. код]

Якщо функція f(z)\, комплексного змінного z\, у відкритій області D\, неперервна і інтеграл від неї по будь-якому замкнутому контуру \Gamma\subset D рівний нулю, тобто

\int\limits_\Gamma\,f(z)\,dz=0

то f(z)\,аналітична функція в D\,.

Умову теореми можна послабити, обмежившись вимогою рівності нулю інтегралів, узятих по контуру довільного трикутника, що належить області D\,.

Доведення[ред.ред. код]

В доведенні спершу знаходиться первісна для функції f\,, після чого твердження випливає з факту, що голоморфні функції є аналітичними.

Без втрати загальності можна вважати область D\, зв'язаною. Зафіксувавши деяку точку a\, в області D\,, визначимо функцію F\, в D\, наступною формулою:

F(b) = \int_a^b f(z)\,dz.\,

Інтеграл може бути взятий по довільній кривій в D\, від a\, до b\,. Функція F\, є однозначно визначена оскільки з умови теореми випливає рівність інтегралів на усіх кривих від a\, до b\,. Звідси отримуємо, що f\, є похідною F\,  :

F'(z) = f(z).\,

Зокрема F\, є голоморфною і, як наслідок, аналітичною. Відповідно f\, також є голоморфною і аналітичною.

Застосування[ред.ред. код]

Теорема Морери часто використовується при доведенні аналітичності функцій. Одним з центральних тверджень при цьому є те, що якщо послідовність f_n\, аналітичних функцій рівномірно сходиться до функції f\,, то

\oint \lim_{n\to\infty} f_n(z) dz = \lim_{n\to\infty} \oint f_n(z) dz = 0

тому, за теоремою Морери, гранична функція також буде голоморфною. Таким чином доводиться голоморфність багатьох функцій, визначених рядами і інтегралами, наприклад дзета-функції Рімана

\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}

і гамма-функції

\Gamma(\alpha) = \int \limits_{0}^{\infty} t^{\alpha-1}e^{-t} dt

Література[ред.ред. код]

  1. Грищенко А.О., Нагнибіда М.І., Настасів П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 ст.
  2. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.
  3. Ahlfors, Lars, Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0070006577
  4. Conway, John B. Functions of One Complex Variable I, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-3540903284
  5. Rudin, Walter, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0070542341
  6. Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., ISBN 0763714372