Теорема Пойнтінга

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Пойнтінга (англ. Poynting's theorem) — теорема, що описує закон збереження енергії електромагнітного поля. Теорема була доведена у 1884 році Джоном Генрі Пойнтінгом. Все зводиться до наступної формули:

\frac{\partial u}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{S} = -\mathbf{J}\cdot\mathbf{E},

Де S — вектор Пойнтінга, J — густина струму і E — електричне поле. Густина енергії u (\epsilon_0 — електрична стала, \mu_0 — магнітна стала).

u = \frac{1}{2}\left(\varepsilon_0 \mathbf{E}^2 + \frac{\mathbf{B}^2}{\mu_0}\right).

Теорема Пойнтінга в інтегральній формі:

\frac{\partial}{\partial t} \int_V u \  dV + \oint_{\partial V}\mathbf{S} \  d\mathbf{A} = -\int_V\mathbf{J}\cdot\mathbf{E} \ dV,

де \partial V \! — поверхня, що обмежуює об'єм V \! .

У технічній літературі теорема зазвичай записывается наступним чином (u — густина енергії):


\nabla\cdot\mathbf{S} + \varepsilon_0 \mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{\mathbf{B}}{\mu_0}\cdot\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} + \mathbf{J}\cdot\mathbf{E} = 0
,

где \varepsilon_0 \mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} — густина енергії електричного поля, \frac{\mathbf{B}}{\mu_0}\cdot\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} — густина енергії магнітного поля і \mathbf{J}\cdot\mathbf{E} — потужність втрат Джоуля на одиницю об'єму.

Доведення[ред.ред. код]

Теорема може бути доведена з допомогою двох рівнянь Максвелла (для простоти вважаємо, що середовище — це вакуум (μ=1, ε=1); для загального випадку з довільним середовищем потрібно у формули до кожного ε0 і μ0 приписати ε і μ):

\nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.

Домноживши дві частини рівняння на \mathbf{B}, отримаємо:

\mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{E}) = - \mathbf{B} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.

Розглянемо спочатку рівняння Максвелла-Ампера:

\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.

Домноживши дві частини рівняння на \mathbf{E}, отримаємо:

\mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) = \mathbf{E} \cdot \mu_0 \mathbf{J} +  \mathbf{E} \cdot \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.

Віднявши перше рівняння з другого, отримаємо:


\mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) - 
\mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{E}) = 
\mu_0 \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} + 
\epsilon_0 \mu_0 \mathbf{E} \cdot \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + 
\mathbf{B} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.

Нарешті:


- \nabla\cdot\ ( \mathbf{E} \times \mathbf{B}  ) = 
\mu_0 \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} + 
\epsilon_0 \mu_0 \mathbf{E} \cdot \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + 
\mathbf{B} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.

Оскільки вектор Пойнтінга \mathbf{S} визначається как:

 \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B}

це рівнозначно:


\nabla\cdot\mathbf{S} + 
\epsilon_0 \mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{\mathbf{B}}{\mu_0}\cdot\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} +
\mathbf{J}\cdot\mathbf{E} = 0.

Узагальнення[ред.ред. код]

Механічна енергія у теоремі визначається як


\frac{\partial}{\partial t} u_m(\mathbf{r},t) + \nabla\cdot \mathbf{S}_m (\mathbf{r},t) =
\mathbf{J}(\mathbf{r},t)\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r},t),

де u_m — кінетична енергія густини у системі. Вона може бути описана як сума кінетичної енергії частинок α


u_m(\mathbf{r},t) = \sum_{\alpha} \frac{m_{\alpha}}{2} \dot{r}^2_{\alpha}
\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{\alpha}(t)),

\mathbf{S_m} — потік енергії, або «механічний вектор Пойнтінга»:


\mathbf{S}_m (\mathbf{r},t) = \sum_{\alpha} \frac{m_{\alpha}}{2} \dot{r}^2_{\alpha}\dot{\mathbf{r}}_{\alpha}
\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{\alpha}(t)).

Рівняння неперервності енергії, або закон збереження енергії


\frac{\partial}{\partial t}\left(u_e + u_m\right) + \nabla\cdot \left( \mathbf{S}_e +
\mathbf{S}_m\right) = 0,

Альтернативні форми[ред.ред. код]

Можна отримати й інші форми теореми Пойнтінга. Замість того щоб використовувати вектор потоку \mathbf{S} \propto \mathbf{E} \times \mathbf{B} можна вибрати форму Авраама \mathbf{E} \times \mathbf{H}, форму Мінковського \mathbf{D} \times \mathbf{B}, або якусь іншу.