Теорема Пікара — Лінделефа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Пікара — Лінделефа — математична теорема про існування і єдиність розв'язку задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку.

Твердження[ред.ред. код]

Нехай маємо звичайне диференціальне рівняння:

y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_0)=y_0.

Нехай функція у правій частині f: \Pi \to \R визначена у деякому прямокутнику \Pi := \{ (t,y) \in \R^2 : |t - t_0| \leqslant a, |y - y_0| \leqslant b\} є неперервною по першому аргументу і задовольняє умову Ліпшіца щодо другого аргументу, тобто існує додатнє число L, що для будь яких точок (t, y') і (t, y) з прямокутника \Pi виконується умова:

|f(t, y') - f(t, y'')| \leqslant L |y' - y''|.

Тоді на відрізку t \in [t_0-\epsilon, t_0+\epsilon], де \epsilon := \min \left (a, \frac{b}{M}\right ), \, M := \max_{(t, y) \in \Pi} |f(t, y)| задача Коші має єдиний розв'язок.

Література[ред.ред. код]