Теорема Пікара — Лінделефа

Теорема Пікара — Лінделефа — математична теорема про існування і єдиність розв'язку задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку.

Твердження

Нехай маємо звичайне диференціальне рівняння:

$y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_0)=y_0.$

Нехай функція у правій частині $f: \Pi \to \R$ визначена у деякому прямокутнику $\Pi := \{ (t,y) \in \R^2 : |t - t_0| \leqslant a, |y - y_0| \leqslant b\}$ є неперервною по першому аргументу і задовольняє умову Ліпшіца щодо другого аргументу, тобто існує додатнє число L, що для будь яких точок (t, y^') і (t, y) виконується умова:

$|f(t, y') - f(t, y'')| \leqslant L |y' - y''|.$

Тоді на відрізку $t \in [t_0-\epsilon, t_0+\epsilon],$ де $\epsilon := \min \left (a, \frac{b}{M}\right ), \, M := \max_{(t, y) \in \Pi} |f(t, y)|$ задача Коші має єдиний розв'язок.

Література

• Самойленко А.М., Перестюк М.О., Парасюк I.О. Диференціальні рівняння: Підручник. – К.: Либідь, 2003р. – 600с