Теорема Радона — Нікодима

Теоре́ма Радо́на — Ніко́дима в функціональному аналізі і суміжних дисциплінах описує загальний вид міри, абсолютно неперервної щодо іншої міри.

Формулювання

Нехай $(X,\;\mathcal{F},\;\mu)$ — простір з мірою і міра $\mu$ $\sigma$-скінченна. Тоді якщо міра $\nu\colon\mathcal{F} \to \R$ абсолютно неперервна відносно $\mu$ $(\nu \ll \mu)$, то існує вимірна функція $f\colon X \to \R$, така що

$\nu(A) = \int\limits_{A} \! f(x)\, \mu(dx),\quad \forall A \in \mathcal{F},$

де інтеграл розуміється в сенсі Лебега.

Пов'язані визначення

• Функція $f$, існування якої гарантується теоремою Радона — Нікодима, називається похідною Радона — Нікодіма міри $\nu$ щодо міри $\mu$. Пишуть:

  $f = \frac{d\nu}{d \mu}.$

  • Якщо $(X,\;\mathcal{F}) = \left(\R^k,\;\mathcal{B}(\R^k)\right)$ — $k$-вимірний векторний простір з борелівською σ-алгеброю $\nu = \mathbb{P}^{X}$ — розподіл деякої випадкової величини $X$, а $\mu = m$ — міра Лебега на $\R^k$, то похідна Радона — Нікодима міри $\mathbb{P}^X$ щодо міри $m$ називається щільністю розподілу випадкової величини $X$.

Властивості

• Нехай $\lambda,\;\mu,\;\nu$ — $\sigma$-скінченні міри, визначені на одному і тому ж просторі з мірою $(X,\;\mathcal{F})$. Тоді якщо $\mu \ll \lambda$ і $\nu \ll \lambda$, то

$\frac{d(\mu+\nu)}{d\lambda} = \frac{d\mu}{d\lambda} + \frac{d\nu}{d\lambda}.$

• Нехай $\nu \ll \mu \ll \lambda$. Тоді

$\frac{d\nu}{d\lambda}=\frac{d\nu}{d\mu}\frac{d\mu}{d\lambda}$ $\lambda$ - майже всюди.

• Нехай $\mu \ll \lambda$ і $g\colon X \to \mathbb{R}$ — вимірна функція, інтегрована щодо міри $\mu$, то

$\int\limits_X\!g(x)\,\mu(dx) = \int\limits_X\!g(x)\,\frac{d\mu}{d\lambda}(x)\,\lambda(dx).$

• Нехай $\mu \ll \nu$ і $\nu \ll \mu$. Тоді

$\frac{d\mu}{d\nu}=\left(\frac{d\nu}{d\mu}\right)^{-1}.$

• Нехай $\nu$ — заряд. Тоді

${d|\nu|\over d\mu} = \left|{d\nu\over d\mu}\right|.$

Варіації і узагальнення

Аналогічна теорема справедлива зарядів, тобто знакозмінних мір.

Припущення σ-скінченності

У випадку якщо міра $\mu$ не є σ-скінченною тоді твердження теореми не виконується. Для прикладу можна розглянути борелівську σ-алгебру на множині дійсних чисел. На даній σ-алгебрі можна задати міру $\mu$, що рівна кількості елементів множини для скінченних множин і +∞ в іншому випадку. Визначена таким чином міра не є σ-скінченною, оскільки не всі борелівські множини є зліченними. Нехай $\nu$ — міра Лебега. $\nu$ — абсолютно неперервна відносно $\mu$, оскільки єдина множина A нульової міри $\mu$ — пуста множина і тоді ν(A) = 0.

Якщо припустити, що теорема Радона — Нікодима справджується, то існує вимірна функція f, для якої:

$\nu(A) = \int_A f \, \mathrm{d} \mu$

для всіх борелівських множин. Нехай A — довільна одноелементна множина , A = {a}, і, використовуючи згадану вище рівність, одержується:

$0 = f(a)\,$

для всіх дійсних чисел a. Звідси функція f, і міра Лебега ν, є нульовими, що суперечить означенню міри Лебега.

Див. також

• Відстань Кульбака — Лейблера
• Теорема Лебега про розклад міри

Джерела

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. (1976). Элементы теории функций и функционального анализа (вид. четверте). Москва: Наука. с. 544. ISBN 5-9221-0266-4. 
• Халмош П.Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит., 1953