Теорема Рамзея

Дво-кольоровий повний граф потужності 5, без монохроматичного повного підграфа потужності 3

Теорема Рамсея — теорема, винайдена англійським математиком Франком Рамсеєм, стосується комбінаторики, теорії графів та теорії множин.

Для дво-кольорового графа

Для довільних натуральних чисел $\ r, s$ існує натуральне число $\ R(r,s)$, таке що в повному графі з R(r,s) вершин, ребра якого розфарбовані в два кольори, знайдеться

• або повний підграф розміру $\ r$ першого кольору,
• або повний підграф розміру $\ s$ другого кольору.

Теорема узагальнюється на довільну кількість кольорів та на гіперграфи.

Для гіперграфа

m-гіперграфом є гіперграф, ребра якого є набором із m вершин.

Для натуральних чисел $\ m, c, n_1, \ldots, n_c$, існує натуральне число $\ R(n_1,\ldots,n_c; m)$ таке, що повний m-гіперграф порядку R, ребра якого розфарбовані в c різних кольорів, в якому для деякого числа i від 1 до c, існує повний під-m-гіперграф порядку $\ n_i$ кольору i.

Теоретико-множинне формулювання

Якщо X зліченна множина і всі множини X(n) (підмножини X потужності n) розфарбовані в c різних кольорів. Тоді існує нескінчення підмножина M в X, така що всі підмножини M потужності n мають одинаковий колір.

Див. також

• Теорема Ердьоша-Секереша

Джерела

• Теорема Рамсея
• Теорія Рамсея