Теорема Рао — Блеквела

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Рао — Блеквела — твердження в математичній статистиці на основі якого можна покращувати статистичні оцінки параметрів.

Нехай X_1, \ldots, X_n послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин з розподілом, що залежить від деякого невідомого параметра \theta \in \Theta.\, Нехай \delta(X) — деяка статистична оцінка цього невідомого параметру із скінченною матрицею других моментів, а T = \mathrm{T}(X)\;достатня статистика для параметра \theta. Тоді існує \delta_{1}(X) = \textrm{E}[\delta(X)|T(X)] і крім того \delta_{1}(X) є кращою оцінкою параметра в сенсі середньоквадратичного відхилення, тобто для будь якого вектора z необхідної розмірності виконується нерівність:

z \textrm{E}[(\delta_{1}(X)-\theta)^{T}(\delta_{1}(X)-\theta)] z^T\leqslant z \textrm{E}[(\delta(X)-\theta)^{T}(\delta(X)-\theta)] z^T.

Рівність виконується лише коли \delta\, є вимірною функцією від T.

Доведення[ред.ред. код]

Доведення для випадку коли параметр є одним числом тобто його розмірність рівна одиниці. Тоді

\operatorname{E} [\delta_1(X)-\theta]^2 = \operatorname{E} \left[\textrm{E}(\delta(X)|T(X)) -\theta \right]^2 

= \operatorname{E} \left[\textrm{E}(\delta(X) - \theta |T(X)) \right]^2

 \leqslant  \operatorname{E} \left[\textrm{E}((\delta(X) - \theta)^2 |T(X)) \right] = \operatorname{E}(\delta(X)-\theta)^2.\,\!

Нерівність випливає з того, що для будь-якої випадкової величини W, \operatorname{var} W = \operatorname{E} W^2 -(\operatorname{E} W)^2 ] \geqslant 0, якщо взяти W = \textrm{E}(\delta(X) - \theta |T(X)).\, Звідси також бачимо, що рівність виконується лише коли \operatorname{var}\, W = 0,\, тобто коли \delta(X) - \theta приймає одне значення для кожного значення T, тобто \delta(X) є функцією від T.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]