Теорема Ріба про сферу

Теорема Ріба про сферу: Нехай на замкнутому орієнтованому зв'язному многовиді Mⁿ існує розшарування з особливостями, всі особливі точки якого ізольовані та є центрами. Тоді Mⁿ гомеоморфний сфері Sⁿ, та розшарування має рівно дві особливі точки.

Теорема доведена у 1946 році французьким математиком Жоржем Рібом.

Морсовське шарування

Ізольована особлива точка шарування F називається точкою морсовського типу, якщо в її малому околі всі шари є рівнями деякої функції Морса, а сама вона є критичною точкою цієї функції.

Особлива точка морсовського типу називається центром, якщо вона є локальним екстремумом функції; в супротивному випадку вона називається сідловою точкою.

Позначимо ind p = min(k, n − k), індекс особливості $p$, де k — індекс відповідної критичної точки морсовської функції. Зокрема, центр має індекс 0, индекс сідла принаймні 1.

Морсовське шарування F на многовиді M це особливе трансверсально орієнтоване шарування корозмірності 1 класу C² з ізольованими особливостями, причому:

• всі особливості F морсовського типу,
• кожний особливий шар L містить лише одну зв'язну особливу точку p; при цьому, якщо ind p = 1 то $L\setminus p$ незв'язно.

Нехай c — число центрів морсовського шарування F, і $s$ — число його сідлових точок, виявляється, що різниця c − s тісно пов'язана з топологією многовиду $M$.

Теорема Ріба про сферу

Розглянемо випадок c > s = 0, тобто всі особливості є центрами, сідлових точок немає.

Теорема: Нехай на замкнутому орієнтованому зв'язному многовиді $M^{n}$ розмірності $n\geq 2$ існує $C^{1}$-трансверсально орієнтоване шарування $F$ ковимірності 1 з непорожньою множиною ізольованих особливих точок, що всі є центрами. Тоді шарування $F$ має рівно дві особливі точки, і многовид $M^{n}$ гомеоморфний сфері $S^{n}$.

Цей факт є наслідком теореми Ріба про стійкість.

Див. також

• Теорема про сферу (диференціальна геометрія)