Теорема Рімана про відображення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Рімана про відображення — теорема у комплексному аналізі, що стверджує, що для довільної однозв'язної відкритої підмножини U комплексної площини \Bbb C, що не збігається з усією \Bbb C, існує бієктивне голоморфне відображення f\, із множини U\, на відкритий одиничний круг D\,

f : U \rightarrow D \,

де

D=\{z\in {\Bbb C} :|z|<1\}.

Зауваження[ред.ред. код]

Голоморфна функція, що є взаємно-однозначною (тобто оборотною), є конформним відображенням, так що теорему можна формулювати в термінах конформної еквівалентності. Також, не має значення, стверджувати про існування функції f\colon D \to U або оберненої f^{-1}\colon U \to D. Можна навіть вимагати існування відображення з будь-якої однозв'язної області в будь-яку іншу однозв'язну - твердження теореми від цього не стане сильнішим.

Дана теорема здається парадоксальною, оскільки умови на область є чисто топологічними і ніяк не обумовлюють геометрію її границі. Насправді, порівняно легко будуються конформні відображення круга не тільки на многокутники і подібні фігури, але і області на зразок круга з одним вирізаним радіусом і т.д. Можна навіть побудувати функцію на кругу, образ якої має ніде не гладку границю. Втім, Ріман зумів довести теорему лише в припущенні кускової гладкості границі.

Єдиність відображення[ред.ред. код]

Оскільки одиничний круг легко нетотожно конформно відобразити на себе, то шукане конформне відображення єдиним бути не може. Проте, легко бачити, що вся неоднозначність в побудові відображення відноситься до автоморфізмів одиничного круга, які утворюють дійсну 3-мірну групу Лі. Зокрема, якщо z_0 — елемент множини U і φ — довільний кут, тоді існує єдине відображення f із теореми Рімана, яке додатково задовольняє умовам f відображає z_0 в 0 і аргумент похідної f в точці z_0 рівний куту φ.

Узагальнення[ред.ред. код]

Якщо замість області на комплексній площині розглядати область на довільній ріманової поверхні, то ми приходимо до часткового випадку теореми про уніформізацію:

для довільної однозв'язної відкритої підмножини U ріманової поверхні існує бієктивне голоморфне відображення (f\, із множини U\, на одну з множин:

Спроби узагальнити дану теорему на дійсну конформну геометрію в розмірностях вище 2, як і на комплексну геометрію в розмірностях вище 1, використовуючи поняття голоморфного відображення, до особливих успіхів не привели. Доведено, що і в тому і іншому випадку для еквівалентності областей вже недостатньо чисто топологічних умов. У будь-якому випадку, такі загальні твердження про еквівалентність областей в багатовимірних просторах науці не відомі.

Література[ред.ред. код]

  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
  • John B. Conway, Functions of one complex variable, Springer-Verlag, 1978, ISBN 0-387-90328-3
  • John B. Conway, Functions of one complex variable II, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94460-5
  • Reinhold Remmert, Classical topics in complex function theory, Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98221-3

Посилання[ред.ред. код]