Теорема Рімана — Роха

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Рімана — Роха — твердження в комплексному аналізі, що визначає розмірність векторного простору мероморфних функцій ріманової поверхні з нулями і полюсами визначених порядків в заданих точках поверхні. Названа на честь німецьких математиків Бернхарда Рімана і Ґустава Роха.

Допоміжні визначення[ред.ред. код]

Нехай Xкомпактна ріманова поверхня роду g. Групою дивізорів \operatorname{div}(X) цієї поверхні називається вільна абелева група породжена точками X. Елементами \operatorname{div}(X) є скінченні суми \sum n_i P_i, \, n_1 \in \Z, P_i \in X. Дивізор D = \sum n_i P_i називається додатнім (позначається D \geq 0), якщо всі n_i \geq 0. Також використовується позначення D \geq D_1 якщо D - D_1 \geq 0. Порядок дивізора \deg (D) визначається як \deg (D) = \sum n_i . Для мероморфної функції f визначеної в X можна визначити дивізор \operatorname{div} (f) = \sum n_i P_i, де P_i — нулі і полюси функції f і n_i = a, якщо P_i — нуль порядку a і n_i = - a, якщо P_i — полюс порядку a. Дивізори D для яких існує мероморфна функція f така, що D = \operatorname{div} (f) називаються головними. Два дивізори називаються лінійно еквівалентними, якщо їх різниця є головним дивізором. Оскільки порядок довільного головного дивізора рівний нулю то можна говорити також про порядок класу лінійної еквівалентності дивізорів. Якщо \omega — диференційна мероморфна 1-форма на ній подібно до мероморфної функції можна задати дивізор. Оскільки \operatorname{div} (f\omega)=\operatorname{div} (f)+\operatorname{div}(\omega) то всі такі дивізори (канонічні дивізори) належать одному класу. Такі дивізори найчастіше позначаються K. Позначимо тепер

L(D) := \left\{ f \in M(X) \,|\, \operatorname{div}(f) + D \geq \; 0 \right\}.

Дана множина є векторним простором над полем комплексних чисел. Його розмірність позначається \ell(D).

Твердження теореми[ред.ред. код]

З використанням введених вище позначень твердження теореми для X — компактної ріманової поверхні роду g запишеться:

\ell(D) - \ell(K-D) = \deg D + 1 - g

Література[ред.ред. код]