Теорема Рімана — Роха

Теорема Рімана — Роха — твердження в комплексному аналізі, що визначає розмірність векторного простору мероморфних функцій ріманової поверхні з нулями і полюсами визначених порядків в заданих точках поверхні. Названа на честь німецьких математиків Бернхарда Рімана і Ґустава Роха.

Допоміжні визначення

Нехай X — компактна ріманова поверхня роду g. Групою дивізорів $\operatorname{div}(X)$ цієї поверхні називається вільна абелева група породжена точками X. Елементами $\operatorname{div}(X)$ є скінченні суми $\sum n_i P_i, \, n_1 \in \Z, P_i \in X$. Дивізор $D = \sum n_i P_i$ називається додатнім (позначається $D \geq 0$), якщо всі $n_i \geq 0$. Також використовується позначення $D \geq D_1$ якщо $D - D_1 \geq 0$. Порядок дивізора $\deg (D)$ визначається як $\deg (D) = \sum n_i$. Для мероморфної функції f визначеної в X можна визначити дивізор $\operatorname{div} (f) = \sum n_i P_i$, де $P_i$ — нулі і полюси функції f і $n_i = a$, якщо $P_i$ — нуль порядку a і $n_i = - a$, якщо $P_i$ — полюс порядку a. Дивізори D для яких існує мероморфна функція f така, що $D = \operatorname{div} (f)$ називаються головними. Два дивізори називаються лінійно еквівалентними, якщо їх різниця є головним дивізором. Оскільки порядок довільного головного дивізора рівний нулю то можна говорити також про порядок класу лінійної еквівалентності дивізорів. Якщо $\omega$ — диференційна мероморфна 1-форма на ній подібно до мероморфної функції можна задати дивізор. Оскільки $\operatorname{div} (f\omega)=\operatorname{div} (f)+\operatorname{div}(\omega)$ то всі такі дивізори (канонічні дивізори) належать одному класу. Такі дивізори найчастіше позначаються K. Позначимо тепер

$L(D) := \left\{ f \in M(X) \,|\, \operatorname{div}(f) + D \geq \; 0 \right\}$.

Дана множина є векторним простором над полем комплексних чисел. Його розмірність позначається $\ell(D)$.

Твердження теореми

З використанням введених вище позначень твердження теореми для X — компактної ріманової поверхні роду g запишеться:

$\ell(D) - \ell(K-D) = \deg D + 1 - g$

Література

• Jost, Jürgen (2006), Compact Riemann Surfaces, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-33065-3
• Shigeru Mukai; William Oxbury (translator) (2003). An Introduction to Invariants and Moduli. Cambridge studies in advanced mathematics. 81. New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-80906-1.
• Misha Kapovich, The Riemann–Roch Theorem