Теорема Ріса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Ріса (також теорема Ріса-Фреше) у функціональному аналізі стверджує, що кожен лінійний обмежений функціонал у гільбертовому просторі може бути представлений через скалярний добуток за допомогою деякого елементу.

Твердження[ред.ред. код]

Нехай маємо:

  • Гільбертів простір H
  • Лінійний обмежений функціонал f \in H' у просторі H

Тоді існує єдиний елемент y простору H такий, що для довільного x \in H виконується f(x)=\langle y,x\rangle.

Також виконується рівність

\|y\|=\|f\|

Доведення[ред.ред. код]

\ker(f) ядро лінійного функціоналу є векторним підпростором H.

Існування y[ред.ред. код]

Якщо f\equiv 0, достатньо взяти y=0.

Якщо ж f\ne 0, тоді \ker(f)\ne H . Відповідно можна знайти елемент b \in \ker(f)^\bot \smallsetminus \big\{0\big\},

\forall x \in H, позначимо p_x=x-\tfrac{f(x)}{f(b)}b.

Оскільки очевидно p_x \in \ker(f) маємо за означенням b, що \langle b,p_x\rangle = 0. З лінійності скалярного добутку отримуємо:

\left\langle b, x-{f(x) \over f(b)}b \right\rangle = 0 = \langle b, x\rangle - {f(x) \over f(b)} \| b \|^2

Звідси f(x) = \langle b, x\rangle \tfrac{f(b)}{\|b\|^2}.

Нарешті

f(x) = \langle y, x \rangle

де позначено y = \tfrac{f(b)}{\|b\|^2}b.

Єдиність y[ред.ред. код]

Припустимо y і z елементи H Що задовольняють f(x) = \langle y, x \rangle = \langle z, x \rangle.

Для всіх x \in H справджується \langle y-z, x \rangle = 0 зокрема \langle y-z, y-z \rangle = \|y-z\|^2 = 0 звідки й отримується рівність y = z.

Рівність норм[ред.ред. код]

Для доведення \|y\|=\|f\| спершу з неріності Коші-Буняковського маємо: f(x)=\langle y,x\rangle \leq \|y\|\|x\|. Звідси згідно з визначенням норми функціоналу маємо: \|f\|\leq\|y\|. З іншого боку f(y) = \langle y, y \rangle \leq \|y\|\|f\| звідки \|y\|\leq\|f\|. Поєднуючи дві нерівності одержуємо \|y\|=\|f\|

Див. також[ред.ред. код]