Теорема Ріса

Теорема Ріса (також теорема Ріса-Фреше) у функціональному аналізі стверджує, що кожен лінійний обмежений функціонал у гільбертовому просторі може бути представлений через скалярний добуток за допомогою деякого елементу.

Твердження

Нехай маємо:

• Гільбертів простір H
• Лінійний обмежений функціонал $f \in H'$ у просторі $H$

Тоді існує єдиний елемент $y$ простору $H$ такий, що для довільного $x \in H$ виконується $f(x)=\langle y,x\rangle$.

Також виконується рівність

$\|y\|=\|f\|$

Доведення

$\ker(f)$ ядро лінійного функціоналу є векторним підпростором $H$.

Існування $y$

Якщо $f\equiv 0$, достатньо взяти $y=0$.

Якщо ж $f\ne 0$, тоді $\ker(f)\ne H$ . Відповідно можна знайти елемент $b \in \ker(f)^\bot \smallsetminus \big\{0\big\}$,

$\forall x \in H$, позначимо $p_x=x-\tfrac{f(x)}{f(b)}b$.

Оскільки очевидно $p_x \in \ker(f)$ маємо за означенням b, що $\langle b,p_x\rangle = 0$. З лінійності скалярного добутку отримуємо:

$\left\langle b, x-{f(x) \over f(b)}b \right\rangle = 0 = \langle b, x\rangle - {f(x) \over f(b)} \| b \|^2$

Звідси $f(x) = \langle b, x\rangle \tfrac{f(b)}{\|b\|^2}$.

Нарешті

$f(x) = \langle y, x \rangle$

де позначено $y = \tfrac{f(b)}{\|b\|^2}b$.

Єдиність $y$

Припустимо $y$ і $z$ елементи $H$ Що задовольняють $f(x) = \langle y, x \rangle = \langle z, x \rangle$.

Для всіх $x \in H$ справджується $\langle y-z, x \rangle = 0$ зокрема $\langle y-z, y-z \rangle = \|y-z\|^2 = 0$ звідки й отримується рівність $y = z$.

Рівність норм

Для доведення $\|y\|=\|f\|$ спершу з неріності Коші-Буняковського маємо: $f(x)=\langle y,x\rangle \leq \|y\|\|x\|$. Звідси згідно з визначенням норми функціоналу маємо: $\|f\|\leq\|y\|.$ З іншого боку $f(y) = \langle y, y \rangle \leq \|y\|\|f\|$ звідки $\|y\|\leq\|f\|$. Поєднуючи дві нерівності одержуємо $\|y\|=\|f\|$

Див. також

• Теорема Лакса-Мільграма