Теорема Скорохода про вкладення

У математиці, зокрема в теорії ймовірностей, під Теоремою Скорохода про вкладення розуміють одну з двох або обидві теореми, які дають можливість подати сукупність випадкових величин у формі Вінерівського процесу визначеного на сукупності марківських моментів часу. Обидві теореми названі на честь українського математика Анатолія Володимировича Скорохода.

Перша теорема Скорохода про вкладення

Нехай X — дійсно-значна випадкова величина з математичним сподіванням рівним 0 і скінченною дисперсією; позначимо $\displaystyle W$ — стандартний дійснозночний Вінерівський процес (Броунівський рух). Тоді існує марківський момент часу (відносно природньої фільтрації породженої вінерівським процесом $\displaystyle W$) , $\displaystyle \tau$, такий що $\displaystyle W_\tau$ має закон розподілу той самий, що і в.в. $\displaystyle X$ ,

$\mathbb{E}[\tau] = \mathbb{E}[X^{2}]$

а також

$\mathbb{E}[\tau^{2}] \leq 4 \mathbb{E}[X^{4}].$

Друга теорема Скорохода про вкладення

Нехай $\displaystyle X_1, X_2,\dots$ — послідовність незалежних однаково-розподілених випадкових величин, з нульовим математичним сподіванням і скінченною дисперсією, і нехай

$S_{n} = X_{1} + \cdots + X_{n}.$

Тоді існує неспадна послідовність марківських моментів часу $\displaystyle\tau_1, \tau_2, \dots$ така що $\displaystyle W_{\tau_{n}}$ має той самий сукупний розподіл що й частинні суми $\displaystyle S_n$ і $\displaystyle\tau_1, \tau_2-\tau_1, \tau_3-\tau_2, \dots$ є незалежними однаково розподіленими випадковими величинами з наступною властивістю

$\mathbb{E}[\tau_{n} - \tau_{n - 1}] = \mathbb{E}[X_{1}^{2}]$

і

$\mathbb{E}[(\tau_{n} - \tau_{n - 1})^{2}] \leq 4 \mathbb{E}[X_{1}^{4}].$

Значення для фінансової математики і фінансів

Теореми Скорохода мають попереджувальний характер для моделювання фінансових даних. Конкретніше, якщо маємо деяку модель фінансових даних, що змодельована деяким процесом і далі для практичного застосування ми збираємо дані для цього процесу за деяким стохастичним принципом (наприклад трансакція за трансакцією), то як не дивно розподіл зібраних даних суттєво відрізняється від розподілу закладеного в моделі.

Джерела

• Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure. New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-00710-2.  (Theorems 37.6, 37.7)