Теорема Скорохода про вкладення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У математиці, зокрема в теорії ймовірностей, під Теоремою Скорохода про вкладення розуміють одну з двох або обидві теореми, які дають можливість подати сукупність випадкових величин у формі Вінерівського процесу визначеного на сукупності марківських моментів часу. Обидві теореми названі на честь українського математика Анатолія Володимировича Скорохода.

Перша теорема Скорохода про вкладення[ред.ред. код]

Нехай Xдійсно-значна випадкова величина з математичним сподіванням рівним 0 і скінченною дисперсією; позначимо \displaystyle W — стандартний дійснозночний Вінерівський процес (Броунівський рух). Тоді існує марківський момент часу (відносно природньої фільтрації породженої вінерівським процесом \displaystyle W) , \displaystyle \tau, такий що \displaystyle W_\tau має закон розподілу той самий, що і в.в. \displaystyle X ,

\mathbb{E}[\tau] = \mathbb{E}[X^{2}]

а також

\mathbb{E}[\tau^{2}] \leq 4 \mathbb{E}[X^{4}].

Друга теорема Скорохода про вкладення[ред.ред. код]

Нехай \displaystyle X_1, X_2,\dots — послідовність незалежних однаково-розподілених випадкових величин, з нульовим математичним сподіванням і скінченною дисперсією, і нехай

S_{n} = X_{1} + \cdots + X_{n}.

Тоді існує неспадна послідовність марківських моментів часу \displaystyle\tau_1, \tau_2, \dots така що \displaystyle W_{\tau_{n}} має той самий сукупний розподіл що й частинні суми \displaystyle S_n і \displaystyle\tau_1, \tau_2-\tau_1, \tau_3-\tau_2, \dots є незалежними однаково розподіленими випадковими величинами з наступною властивістю

\mathbb{E}[\tau_{n} - \tau_{n - 1}] = \mathbb{E}[X_{1}^{2}]

і

\mathbb{E}[(\tau_{n} - \tau_{n - 1})^{2}] \leq 4 \mathbb{E}[X_{1}^{4}].

Значення для фінансової математики і фінансів[ред.ред. код]

Теореми Скорохода мають попереджувальний характер для моделювання фінансових даних. Конкретніше, якщо маємо деяку модель фінансових даних, що змодельована деяким процесом і далі для практичного застосування ми збираємо дані для цього процесу за деяким стохастичним принципом (наприклад трансакція за трансакцією), то як не дивно розподіл зібраних даних суттєво відрізняється від розподілу закладеного в моделі.

Джерела[ред.ред. код]

  • Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure. New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-00710-2.  (Theorems 37.6, 37.7)