Теорема Слуцького

Теоре́ма Слу́цького — твердження в теорії ймовірностей про деякі алгебраїчні властивості збіжності за розподілом випадкових величин. Названа на честь українського економіста і математика Євгена Слуцького. Іноді також називається теоремою Крамера.

Формулювання

Нехай заданий ймовірнісний простір $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$, і $X_n,Y_m: \Omega \to \mathbb{R},\, n,m\in \mathbb{N}$ — випадкові величини. Тоді якщо

$X_n \to^{\!\!\!\!\!\!\!\mathcal{D}} X$,

де $X:\Omega \to \mathbb{R}$ — випадкова величина, і

$Y_m \to^{\!\!\!\!\!\! \mathbb{P}} c$,

де $c \in \mathbb{R}$ — деяка константа, то

• $X_n + Y_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! \mathcal{D}} X + c$
• $X_n \cdot Y_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! \mathcal{D}} c \cdot X$.

Якщо також $c \neq 0$ то:

• $Y_n^{-1}X_n \ \xrightarrow{d}\ c^{-1}X$

Узагальнення

При тих же умовах на послідовності випадкових величин $X_n,Y_m$ для неперервної функції $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ виконується рівність:

$f(X_n,Y_n) \to^{\!\!\!\!\!\!\! \mathcal{D}} f(X,c)$.

Див. також

• Збіжність випадкових величин
• Збіжність за ймовірністю;
• Збіжність за розподілом.

Література

• Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006), Measure theory and probability theory, Springer, ISBN 0-387-32903-X