Теорема Фробеніуса

Теорема Фробеніуса — теорема, що описує основні алгебри з діленням.

Ця теорема сформульована німецьким математиком Фердинандом Георгом Фробеніусом в 1878 році.

Формулювання теореми

Довільна альтернативна алгебра з діленням ізоморфна одній з чотирьох алгебр:

1. дійсних чисел
2. комплексних чисел
3. кватерніонів
4. октоніонів

Доведення

Якщо $\ \mathcal{A}$ — альтернативна алгебра з діленням, то доводяться її властивості:

• Алгебра $\ \mathcal{A}$ має одиницю.

• Якщо елемент $\mathbf{a} \in \mathcal{A}$ і не пропорційний $\mathbf{1},$ то сукупність $\ \mathcal{K}_a$ елементів виду $\alpha \mathbf{1} + \beta \mathbf{a},$ утворює підалгебру, ізоморфну алгебрі комплексних чисел.

• Якщо елементи $\mathbf{a_1, a_2} \in \mathcal{A}$ не належать одній підалгебрі $\ \mathcal{K}_a,$ то сукупність $\ \mathcal{Q}_{a_1a_2},$ елементів виду $\alpha \mathbf{1} + \beta \mathbf{a_1} + \gamma \mathbf{a_2} + \delta \mathbf{a_1 a_2},$ утворює підалгебру ізоморфну алгебрі кватерніонів.

• ...

Джерела

• И. Л. Кантор, А. С. Солодовников. Гиперкомплексные числа. - Москва, "Наука". - 1973.