Теорема Шарковського

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теоре́ма Шарко́вського — теорема з теорії динамічних систем, доведена в 1964 році Олександром Миколайовичем Шарковським. Теорема була першим загальним результатом теорії динамічних систем, при ітеруванні відображень відрізка в себе.

Нехай функція f відображає відрізок [0,1] в себе. Як відомо з теореми про проміжне значення витоку (теорема Банаха про нерухому точку) така функція має нерухому точку (тобто таку точку x, що f(x) = x). Розглянемо такий порядок на множині натуральних чисел:

3 < 5 < 7 < 9 < ... < 2•3 < 2•5 < 2•7 < 2•9 < ... < 2²•3 < 2²•5 < 2²•7 < 2²•9 < ... < 2^n < ... < 2³ < 2² < 21 < 1

Тоді якщо у функції f є нерухома точка степеня k (тобто існує x такий, що f^k (x) = x, але f^i (x) ≠ x, i = 1, …, k-1, де f^k — композиція k функції f), то у цієї функції є нерухомі точки усіх степенів, які більші ніж k в цьому порядку.

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  1. Шарковский А. Н. Сосуществование циклов непрерывного отображения прямой на себя //Укр. мат. журн. 1964. Т.16, № 1. — стор. 61—71.
  2. Li T.-Y., Yorke J.A. Period three implies chaos //Amer. Math. Monthly. 1975. Vol.82. No 10. — стор. 985—992. (англ.)
  3. Шарковский А. Н., О циклах и структуре непрерывного отображения //Укр. матем. журнал 1965. Т.17. стор. 101—111
  4. Misiurewicz M., Remarks on Sharkovsky's Theorem //Amer. Math. Monthly. 1997. vol. 104. No. 9 (англ.)
  5. А. Н. Шарковский, С. Ф. Коляда, А. Г. Спивак, В. В. Федоренко. «Динамика одномерных отображений». Киев: Наукова думка, 1989. 216 с.
  6. Ю. А. Данилов. «Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение.» Москва: Постмаркет, 2001. 184 с.