Теорема Гюйгенса — Штейнера

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
(Перенаправлено з Теорема Штейнера)
Перейти до: навігація, пошук
Ілюстрація до теореми Гюйгенса-Штейнера.

Теоре́ма Гю́йгенса — Штейнера, або теорема Штейнера (названа іменами швейцарського математика Якова Штейнера і нідерландського математика, фізика і астронома Хрістіана Гюйгенса): момент інерції тіла I_z відносно довільної осі дорівнює сумі моменту інерції цього тіла I_{cm} відносно осі, що проходить через центр маси тіла паралельно до осі, що розглядається і добутку маси тіла m на квадрат відстані d між осями:

 I_z = I_{cm} + m d^{2} \ .

Момент інерції досягає свого мінімального значення, коли вісь проходить через центр мас.

Наприклад, момент інерції стрижня відносно осі, що проходить через його кінець, становить:

~J=J_0+md^2=\frac{1}{12}ml^2+m\left(\frac{l}{2}\right)^2=\frac{1}{3}ml^2

Перерахунок тензора моменту інерції[ред.ред. код]

Теорема Гюйгенса — Штейнера допускає узагальнення на тензор моменту інерції, що дозволяє отримати тензор J_{ij} відносно довільної точки з тензора I_{ij} відносно центру мас. Нехай d — зміщення від центру мас, тоді

~J_{ij}=I=I_{ij} + m \begin{pmatrix} d_2^2+d_3^2 & -d_1d_2 & -d_1d_3 \\ -d_1d_2 & d_1^2+d_3^2 & -d_2d_3 \\ -d_1d_3 & -d_2d_3 & d_1^2+d_2^2\end{pmatrix}=I_{ij} + M(\boldsymbol{d}^2 \delta_{ij}-d_id_j)

де

\boldsymbol{d}=d_1\boldsymbol{\hat{x}}+d_2\boldsymbol{\hat{y}}+d_3\boldsymbol{\hat{z}} — вектор зміщення від центру мас,
\delta_{ij} — символ Кронекера.

Як видно, для діагональних елементів тензора (при i = j) формула набуде вигляду теореми Гюйгенса-Штейнера для перерахунку моменту інерції відносно паралельної осі.

Див. також[ред.ред. код]

Момент інерції

Література[ред.ред. код]

  • Павловський М. А. Теоретична механіка: Підручник для студентів вищих навчальних закладів.- К.: Техніка,2002.- 512 с. ISBN 966-575-184-0.
  • Цасюк В. В. Теоретична механіка: Навчальний посібник.- К.: ЦУЛ, 2004.- 402 с. ISBN 966-8253-79-5
  • Федорченко А. М. Теоретична механіка.- Київ: Вища школа, 1975. — 516 с.

Посилання[ред.ред. код]