Теорема Штейнера

Ілюстрація до теореми Гюйгенса-Штейнера.

Теоре́ма Гю́йгенса-Штейнера, або теорема Штейнера (названа іменами швейцарського математика Якова Штейнера і нідерландського математика, фізика і астронома Хрістіана Гюйгенса): момент інерції тіла $I_z$ відносно довільної осі дорівнює сумі моменту інерції цього тіла $I_{cm}$ відносно осі, що проходить через центр маси тіла паралельно до осі, що розглядається і добутку маси тіла $m$ на квадрат відстані $d$ між осями:

$I_z = I_{cm} + m d^{2} \$.

Момент інерції досягає свого мінімального значення, коли вісь проходить через центр мас.

Наприклад, момент інерції стрижня відносно осі, що проходить через його кінець, становить:

$~J=J_0+md^2=\frac{1}{12}ml^2+m\left(\frac{l}{2}\right)^2=\frac{1}{3}ml^2$

Перерахунок тензора моменту інерції

Теорема Гюйнеса-Штейнера допускає узагальнення на тензор моменту інерції, що дозволяє отримати тензор $J_{ij}$ відносно довільної точки з тензора $I_{ij}$ відносно центру мас. Нехай d — зміщення від центру мас, тоді

$~J_{ij}=I=I_{ij} + m \begin{pmatrix} d_2^2+d_3^2 & -d_1d_2 & -d_1d_3 \\ -d_1d_2 & d_1^2+d_3^2 & -d_2d_3 \\ -d_1d_3 & -d_2d_3 & d_1^2+d_2^2\end{pmatrix}=I_{ij} + M(\boldsymbol{d}^2 \delta_{ij}-d_id_j)$

де

$\boldsymbol{d}=d_1\boldsymbol{\hat{x}}+d_2\boldsymbol{\hat{y}}+d_3\boldsymbol{\hat{z}}$ — вектор зміщення від центру мас,

$\delta_{ij}$ — символ Кронекера.

Як видно, для діагональних елементів тензора (при i = j) формула набуде вигляду теореми Гюйгенса-Штейнера для перерахунку моменту інерції відносно паралельної осі.

Див. також

Момент інерції

Література

• Павловський М. А. Теоретична механіка: Підручник для студентів вищих навчальних закладів.- К.: Техніка,2002.- 512 с. ISBN 966-575-184-0.
• Цасюк В. В. Теоретична механіка: Навчальний посібник.- К.: ЦУЛ, 2004.- 402 с. ISBN 966-8253-79-5
• Федорченко А. М. Теоретична механіка.- Київ: Вища школа, 1975. — 516 с.

Посилання

• Parallel axis theorem