Теорема Штольца

В математичному аналізі теоремою Што́льца називаеться твердження, яке у деяких випадках дозволяє знайти границю послідовності дісних чисел. Теорему названо на честь австрійського математика Отто Штольца, який її сформулював і довів.

Ця теорема є поширенням правила Лопіталя на послідовності.

Формулювання

Нехай $a_n$ і $b_n$ — дві послідовності дійсних чисел, причому $b_n$ є послідовністю з додатніми числами, необмеженою і строго зростає. Тоді, якщо існує границя

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$,

то також існує границя

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n}$,

причому вони рівні.

Наслідок

Одним з наслідків теореми Штольца є регулярність методу підсумовування Чезаро. Це означає, що якщо послідовность $a_n$ збігається до числа $a$, то послідовність середніх арифметичних $\frac{a_1 + \dots + a_n}{n}$ збігається до цього ж числа.

Див. також

• Ознака д'Аламбера збіжності ряду

Джерела

• Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. том I. — С. 607. — Москва : Наука, 1962.