Теорема Штольца

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

В математичному аналізі теоремою Што́льца називаеться твердження, яке у деяких випадках дозволяє знайти границю послідовності дісних чисел. Теорему названо на честь австрійського математика Отто Штольца, який її сформулював і довів.

Ця теорема є поширенням правила Лопіталя на послідовності.

[ред.] Формулювання

Нехай $a n$ і $b n$ — дві послідовності дійсних чисел, причому $b n$ є послідовністю з додатніми числами, необмеженою и строго зростає. Тоді, якщо існує границя

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n}$ ,

то також існує границя

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$ ,

причому вони рівні.

[ред.] Наслідок

Одним з наслідків теореми Штольца є регулярність методу підсумовування Чезаро. Це означає, що якщо послідовность $a n$ збігається до числа $a$ , то послідовність середніх арифметичних $\frac{a_1 + \dots + a_n}{n}$ збігається до цього ж числа.