Теорема косинусів

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема косинусів це твердження про властивість довільних трикутників, що є узагальненням теореми Піфагора. Нехай a, b, і c сторони трикутника, а A, B, і C це його кути, протилежні вказаним сторонам. Тоді,

c^2 = a^2 + b^2 - 2a \cdot b \cdot \cos C . \;

Ця формула корисна для знаходження третьої сторони трикутника якщо відомі інші дві сторони та кут між ними, та для знаходження його кутів, якщо відомі довжини його сторін.

Із теореми косинусів

c^2 = a^2 + b^2 \;\cos C = 0 . \;

Твердження cos C = 0 означає що C є прямим кутом, оскільки a і b додатні. Іншими словами, це теорема Піфагора. Хоча теорема косинусів є загальнішою ніж теорема Піфагора, вона не може використовуватись для її доказу, оскільки теорема Піфагора сама використовується для доведення теореми косинусів.

Доведення (для гострого кута)[ред.ред. код]

Трикутник

Нехай a, b і c це сторони трикутника, а A, B і C це кути протилежні цим сторонам. Проведемо відрізок з вершини кута B що утворює прямий кут із протилежною стороною, b. Якщо довжина цього відрізка x, тоді \sin C = \frac{x}{a} , \; звідки x=a \cdot \sin C . \;

Це означає, що довжина цього відрізку a \cdot \sin C. \; Схожим чином, довжина частини b що з'єднує точку перетину відрізку із стороною b та кут C рівна a \cdot \cos C. \; Решта довжини b рівна b - a \cdot \cos C. \; Ми маємо два прямокутних трикутники, один з катетами a \cdot \sin C , \; b - a \cdot \cos C , \; і гіпотенузою c. Звідси, відповідно до теореми Піфагора:

  • c^2 = (a \cdot \sin C)^2 + (b - a \cdot \cos C)^2 \;
  • c^2 = a^2 \cdot \sin^2 C + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos C + a^2 \cdot \cos^2 C \;
  • c^2 = a^2 \cdot (\sin^2 C + \cos^2 C) + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos C \;
  • \sin^2 C + \cos^2 C \; завжди 1, отже
  • c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos C \;

Доведення теореми косинусів з використанням векторів[ред.ред. код]

Векторний трикутник

Використовуючи вектори, ми можемо легко довести теорему косинусів. Нехай ми маємо довільний трикутник із вершинами A, B, і C що утворений векторами a, b, і c, нам відомо, що:

  • \mathbf{a = b - c} \; звідси
  • \mathbf{(b - c)\cdot (b - c) = b\cdot b - 2 b\cdot c + c\cdot c} . \;

Згадавши чому дорівнює добуток двох векторів, отримаємо

  • \mathbf{|a|^2 = |b|^2 + |c|^2 - 2 |b||c|}\cos \theta . \;

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]