Теорема обертання Ейлера

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Обертання представлене віссю та кутом Ейлера.

Теорема обертання Ейлера стверджує, що будь-яке обертання тривимірного простору має вісь.

Таким чином, обертання може бути описано трьома координатами: двома координатами вісі обертання (наприклад, широта та довгота) і кутом повороту навколо вісі.

Для заданого одиничного вектора n і кута \varphi позначимо R(\varphi,n) обертання в напрямку вектора n проти годинникової стрілки на кут \varphi. Тоді:

Для будь-якого обертання існує єдиний кут \varphi, для якого 0 \leqslant \varphi \leqslant \pi, при цьому:

  • n визначається однозначно, якщо 0 < \varphi < \pi;
  • n будь-яке, коли \varphi = 0;
  • n визначається однозначно з точністю до знака, якщо \varphi = \pi (тобто, обертання R(\varphi,\pm n) однакові).
Конструкція до теореми про обертання сфери. Ейлерові кути — [ψ,θ,φ]. Синій контур прикріплений до нерухомої сфері (початковий стан). Червоний контур кріпиться до обертаємої сфери (кінцевий стан). Перетин площин визначає нерухому вісь, яка йде в напрямку точки A. Дуги Aa та повинні бути рівними.

Геометрія групи обертань[ред.ред. код]

Подання Ейлера дозволяє досліджувати топологію групи обертань тривимірного простору SO(3). Для цього розглянемо кулю з центром на початку координат з радіусом \pi.

Будь-яке обертання на кут, менший \pi, задає єдину точку всередині кулі (напрямок задає напрямок вісі обертання, а кут задає відстань від початку координат). Обертання на кут \pi відповідає двом протилежним точкам на поверхні сфери.

Таким чином, куля з ототожненням протилежними точками сфери гомеоморфна групі обертань простору SO(3).

Див. також[ред.ред. код]