Теорема про збереження фазового об'єму

Теорема Ліувілля - це твердження в класичній механіці, згідно з яким будь-яка область у фазовому просторі, не змінює свого об'єму при еволюції Гамільтонової системи.

Об'єм області в фазовому просторі визначається, як

$\Gamma = \int \prod_i dq_i dp_i$

Еволюція системи задається рівняннями Гамільтонової механіки. Тоді будь-яка довільно вибрана область в фазовому просторі буде змінюватися й деформуватися з часом, але згідно з теоремою Ліувілля зберігатиме свій об'єм.

Ця теорема має важливе значення для статистичної фізики.

Рівняння Ліувілля

Наслідком теореми Ліувілля є рівняння для функції густини станів у фазовому просторі.

Густина станів $\rho(q_i, p_i)$ у фазовому просторі визначається як густина ймовірності Гамільтонової системи перебувати в точці $(q_i, p_i)$ фазового простору.

Незмінність об'єму довільної області в фазовому просторі означає те, що незмінною залишається ймовірність знайти систему в цьому об'ємі

$\frac{d\rho}{dt} = 0$,

де береться так звана повна похідна.

Однак сама область деформується й міняє форму. Якщо ж цікавитися фіксованим об'ємом, то з плином часу одні траєкторії входитимуть у нього, інші - виходитимуть. Баланс цих траєкторій призводить до рівняння Ліувілля

$\frac{\partial \rho}{\partial t} = - \{\rho, H\}$,

де H - функція Гамільтона, а {.,.} позначає дужку Пуассона.

Джерела

• Федорченко А.М. (1975). Теоретична механіка. Київ: Вища школа. , 516 с.