Теорема Ліувілля про збереження фазового об'єму

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Ліувілля — ключова теорема гамільтонової механіки і класичної статистичної фізики. Згідно з нею, функція розподілу (густина ймовірності) гамільтонової системи залишається постійною вздовж будь-якої траєкторії у фазовому просторі, тобто, довільна область фазового простору зберігатиме свій об'єм при еволюції гамільтонової системи.

Об'єм області в фазовому просторі визначається, як

 \Gamma = \int \prod_i dq_i dp_i.

Еволюція системи задається рівняннями гамільтонової механіки. Тоді будь-яка довільно вибрана область в фазовому просторі буде змінюватися й деформуватися з часом, але згідно з теоремою Ліувілля зберігатиме свій об'єм.

Ця теорема має важливе значення для статистичної фізики.

Рівняння Ліувілля[ред.ред. код]

Рівняння Ліувілля описує часову еволюцію функції розподілу у фазовому просторі. Хоча це рівняння носить ім'я Ліувілля, фактично його вперше опублікував Джозая Віллард Ґіббс у 1902 році[1]. Але оскільки його виведення для неканонічних систем базується на тотожності, виведеній Ліувіллем у 1838 році[2], то це рівняння носить ім'я Ліувілля.

Розглянемо гамільтонову дінамічну систему з канонічними координатами q_i та спряженими імпульсами p_i, де i = 1, …, n. Тоді функція розподілу \rho (p,q) визначає ймовірність \rho (p,q) d^n q d^n p того, що система знаходиться у нескінченно малому об'ємі d^n q d^n p фазового простору. Тоді рівняння Ліувілля визначатиме еволюцію функції розподілу \rho (p,q,t) у момент часу t:

\frac{d\rho}{dt} = \frac{\partial\rho}{\partial t} + \sum_{i=1}^n \Bigl( \frac{\partial \rho}{\partial q_i} \dot{q_i} + \frac{\partial \rho}{\partial p_i} \dot{p_i} \Bigr) = 0.

Часові похідні, що позначені крапками, визначаються з рівнянь Гамільтона. Отже, отримане рівняння демонструє збереження густини у фазовому просторі. Теорема Ліувілля стверджує, що:

Функція розподілу залишається постійною вздовж будь-якої траєкторії у фазовому просторі.

Простим доказом теореми слугує той факт, що функція розподілу \rho (p,q) задовольняє рівняння неперервності:

\frac{d\rho}{dt} = \frac{\partial\rho}{\partial t} + \sum_{i=1}^n \Bigl( \frac{\partial (\rho \dot{q}_i)}{\partial q_i} \dot{q_i} + \frac{\partial (\rho \dot{p}_i)}{\partial p_i} \dot{p_i} \Bigr) = 0,

причому член,

\rho \sum_{i=1}^n \Bigl( \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_i} + \frac{\partial \dot{p}_i}{\partial p_i} \Bigr) = \rho \sum_{i=1}^n \Bigl( \frac{\partial ^2 \mathcal{H}}{\partial q_i p_i} \dot{q_i} + \frac{\partial ^2 \mathcal{H}}{\partial p_i q_i} \Bigr) = 0,

якщо використати рівняння Гамільтона, тотожно дорівнює нулю (\mathcal{H} — функція Гамільтона).

Наслідком теореми Ліувілля є рівняння для функції густини станів у фазовому просторі.

Незмінність об'єму довільної області в фазовому просторі означає те, що незмінною залишається ймовірність знайти систему в цьому об'ємі

 \frac{d\rho}{dt} = 0,

де береться так звана повна похідна.

Однак сама область деформується й міняє форму. Якщо ж цікавитися фіксованим об'ємом, то з плином часу одні траєкторії входитимуть у нього, інші — виходитимуть. Баланс цих траєкторій призводить до рівняння Ліувілля

 \frac{\partial \rho}{\partial t} = - \{\rho, H\} ,

де H — функція Гамільтона, а {.,.} позначає дужку Пуассона.

Виноски[ред.ред. код]

  1. Гиббс Дж. В. Основные принципы статистической механики. — М.Л.: ГИТТЛ, 1946. — 203 с. (Глава 1. Общие понятия. Принцип сохранения фазового объема.)
  2. Liouville J. Note sur la Théorie de la Variation des constantes arbitraires // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 3 (1838) С. 342-349.

Джерела[ред.ред. код]

  • Федорченко А.М. (1975). Теоретична механіка. Київ: Вища школа. , 516 с.