Теорема про неявну функцію

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема про неявну функцію — загальна назва для теорем, що гарантують локальне існування і описують властивості неявної функції, тобто функції

y=f(x),   f:X\to Y,

заданої рівнянням

F(x,y)=0,   F:X\times Y\to Z.

Одновимірний випадок[ред.ред. код]

Проста теорема про неявну функцію полягає в наступному.

Якщо функція F:\R\times\R\to\R

тоді у деякому двовимірному проміжку  I=I_x \times I_y, що є околом точки (x_0,y_0), і така неперервна функція f:I_x\to I_y, що для будь-якої точки (x,y) \in I

F(x,y) = 0 \Leftrightarrow y = f(x)

Звичайно додатково передбачається, що функція F неперервно диференційовна, в цьому випадку умова монотонності випливає з того що F_y'(x_0,y_0)\ne0\quad, тут F_y' позначає часткову похідну F по y. Більш того, в цьому випадку, похідна функції f може бути обчислена за формулою

f'(x) = - \frac{F_x'(x, f(x))}{F_y'(x, f(x))}.

Багатовимірний випадок[ред.ред. код]

Нехай \R^n і \R^mn і m-вимірні евклідові простори з фіксованими системами координат, точки яких відповідно x=(x_1,\dots,x_n) і y=(y_1,\dots,y_m). Нехай F відображає деякий окіл W точки (x_0,y_0)\in\R^n\times\R^m у простір \R^m і F_1,F_2,\ldots,F_m — координатні функції (від змінних x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m) відображення F, тобто F=(F_1,F_2,\ldots,F_m).

Припустимо, що F(x_0,y_0)=0 і відображення F — неперервно диференційовне в околі W, а якобіан відображення y\mapsto F(x_0,y) не рівний нулю в точці y_0, тобто визначник матриці \frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0) не рівний нулю. Тоді існують околи U і V точок x_0 і y_0 відповідно в просторах \R^n і \R^m, причому U\times V\subset W, і єдине відображення f : U \to V, таке, що для всіх x\in U виконується тотожність F(x, f(x)) = 0\,. При цьому f(x_0)=y_0 і відображення f є k раз неперервно диференційовним на U. Якщо функція F є неперерфно диференційовною до порядку k в множині U×V, то такою ж є і функція f у множині U і виконується

\frac{d f}{d x_j}(x)=-\left( \frac{\partial F}{\partial y}(x,f(x)) \right)^{-1}  \frac{\partial F}{\partial x_j}(x) .

Узагальнення[ред.ред. код]

Банахові простори[ред.ред. код]

Нехай X, Y, Zбанахові простори. Нехай відображення f:X\times Y\to Zдиференційовне за Фреше. Якщо (x_0,y_0)\in X\times Y, f(x_0,y_0)=0, і y\mapsto Df(x_0,y_0)(0,y)ізоморфізм банахових просторів Y і Z, тоді існують околи U точки x_0 і V точки y_0 і диференційовне за Фреше відображення g:U\to V, таке що f(x,g(x))=0 і f(x,y)=0 якщо і тільки якщо y=g(x), для всіх (x,y)\in U\times V.

Випадок не диференційовних функцій[1][ред.ред. код]

Розглянемо неперервне відображення f : R^n \times R^m \rightarrow R^n таке що f(x_0, y_0) = 0. Якщо існують відкриті околи A \subset R^n і B \subset R^m точок x_0 і y_0, такі що для всіх y \in B, f(\cdot, y) : A \rightarrow R^n є локально бієктивним тоді існують околи A_0 \subset R^n і B_0 \subset R^m точок x_0 і y_0, такі що, для всіх y \in B_0, рівняння

f(x, y) = 0

має єдиний розв'язок

x = g(y) \in A_0,

де g є неперервна функція з B_0 на A_0.

Примітки[ред.ред. код]

  1. S. Kumagai, "An implicit function theorem: Comment," Journal of Optimization Theory and Applications, 31(2):285-288, June 1980.

Література[ред.ред. код]