Теорема про первісний елемент

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема про первісний елемент — твердження в теорії полів, розділі математики, що дає необхідні і достатні умови для того щоб скінченне розширення було простим.

Твердження теореми[ред.ред. код]

Нехай F і K довільні поля, і K скінченне розширення поля F. Розширення є простим тоді і тільки тоді, якщо кількість полів L таких що F\subseteq L\subseteq K є скінченною.

Доведення[ред.ред. код]

Нехай F і Kполя, і степінь розширення [K:F]=n — скінченне число. Припустимо K=F(\alpha). Оскільки розширення K/F — скінченне, то елемент\alpha є алгебраїчним над F. Нехай m(x) — мінімальний многочлен \alpha над F. Позначимо поле L таке що F\subseteq L\subseteq K і m'(x) — мінімальний многочлен елемента \alpha над L. Якщо L' — поле породжене коефіцієнтами многочлена m'(x) то мінімальним многочленом \alpha над L' теж є m'(x) і L'\subseteq L. Згідно з властивостями мінімального многочлена, оскільки m(\alpha)=0, маємо m'(x)|m(x), отже: [K:L]=\deg(m'(x))=[K:L']\,. Оскільки L'\subseteq L, звідси випливає L'=L. Тобто довільне проміжне поле F\subseteq L \subseteq K відповідає полю породженому коефіцієнтами деякого дільника многочлена f(x) зі старшим коефіцієнтом рівним одиниці. Оскільки многочлен f(x) має скінченну кількість таких дільників, існує лише скінченна кількість таких підполів K, що містять F.

Нехай навпаки існує скінченна кількість таких полів L. Якщо F є скінченним полем, тоді скінченним є і поле K, і всі такі розширення породжуються одним елементом. Припустимо тепер, що F (і також K) є нескінченним полем. Нехай \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n - базис K над F. Тоді K=F(\alpha_1, \ldots, \alpha_n). Для доведення достатньо розглянути випадок двох елементів. Загальний випадок тоді одержується за допомогою математичної індукції. Отже візьмемо K=F(\beta,\gamma). Розглянемо множину елементів \{\beta+a\gamma\} для a\in F^{\times}. Згідно з припущенням, ця множина є нескінченною, проте існує лише скінченна кількість полів між K і F; відповідно деякі два елементи породжують одне розширення L поля F, наприклад \beta+a\gamma і \beta+b\gamma. Це поле L містить

\frac{(\beta+a\gamma)-(\beta+b\gamma)}{a-b} = \gamma

І

\frac{(\beta+a\gamma)/a-(\beta+b\gamma)/b}{1/a-1/b} = \beta

Отже взявши \alpha = \beta+a\gamma , одержуємо

F(\alpha)=L=F(\beta,\gamma)=K.

Сепарабельні розширення[ред.ред. код]

Важливим наслідком теореми є факт, що довільне скінченне сепарабельне розширення є простим.

Для несепарабельних розширень, це твердження може не виконуватися. Характеристика таких розширень рівна деякому простому числу p. Розглянемо, наприклад поле K:

Fp(TU),

визначене як поле раціональних функцій із змінними T і U і коефіцієнтами в скінченному полі Fp з p елементами. Нехай L розширення поля, породжене додаванням до K кореня степеня p елементів T і U. Тоді розширення L/K є скінченним розширенням степеня p2, отже такий же степінь має мати мінімальний многочлен первісного елемента. Проте для довільного \alpha \in L, елемент αp належить K.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]