Теорема про розподіл простих чисел

Теорема про розподіл простих чисел - теорема аналітичної теорії чисел, що описує асимптотику розподілу простих чисел. А саме, вона стверджує, що кількість $\pi(n)$ простих чисел на відрізку від 1 до n зростає із зростанням n як $n/\ln n$, тобто

$\frac{\pi(n)}{n/\ln n} \to 1, \quad n\to \infty.$

Інакше кажучи, це означає, що у випадково вибраного числа від 1 до n, для достатньо великих n, ймовірність виявитися простим приблизно рівна $1/\ln n$.

Також ця теорема може бути еквівалентним чином перефразована для опису поведінки $k$-го простого числа $p_k$: вона стверджує, що

$p_k \sim k\ln k, \quad k\to\infty$

(тут і далі запис $\ f\sim g$ означає $f/g \to 1$ ).

Історія

Ґрунтуючись на таблицях простих чисел, складених Фелкелем і Вегою, Лежандр припустив в 1796 році, що функція $\pi(x)$ може бути наближена виразом $x/(\ln(x)-B)$, де $B=1.08...$ — константа, близька  $1$. Гаус, розглядаючи те ж питання і використовуючи доступні йому результати обчислень і деякі евристичні міркування розглянув іншу функцію — інтегральний логарифм $\mathrm{Li}(x)=\int_2^x \frac{1}{\ln x} \, dx$, проте не став публікувати цього твердження. Обидва наближення, як Лежандра, так і Гауса, приводять до однієї і тієї ж асимптотичної еквівалентності функцій $\pi(x)$ і $x / \ln(x)$, вказаної вище, хоча наближення Гауса і виявляється істотно кращим, якщо при оцінці помилки розглядати різницю функцій замість їх відношення.

У двох своїх роботах, 1848 і 1850 роки, Чебишев доводить, що верхня M і нижня m границі відношення

$\frac{\pi(x)}{x/\ln x} \qquad (*)$

задовільняють нерівності $0.92129\le m\le M\le 1.10555$, а також, що якщо границя відношення (*) існує, то вона рівна 1.

У 1859 році з'являється робота Рімана, що розглядає (введену Ейлером як функцію дійсного аргумента) $\zeta$-функцію в комплексній області, і що пов'язує її поведінку з розподілом простих чисел. Розвиваючи ідеї цієї роботи, в 1896 році Адамар і Валле-Пуссен одночасно і незалежно доводять теорему про розподіл простих чисел.

Нарешті, в 1949 році з'являється доведення Ердеша-Сельберга, що не використовує понять комплексного аналізу.

Загальний хід доказу

Переформулювання в термінах псі-функції Чебишева

Загальним початковим етапом міркувань є переформулювання твердження за допомогою псі-функції Чебишева, що визначається як

$\psi(x)=\sum_{p^k \le x} \log p \qquad \qquad (*)$

іншими словами, псі-функція Чебишева це сума функції фон Мангольдта:

$\psi(x)=\sum_{n\le x} \Lambda(n), \qquad \Lambda(n)= \begin{cases} \log p, & n=p^k, \, k\ge 1, \quad p \,\text{is a prime} \\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases}$

А саме, виявляється, що асимптотичний закон розподілу простих чисел рівносильний тому, що

$\psi(x)\sim x \quad x\to \infty.$

Це твердження є вірним тому, що логарифм «майже сталий» на більшій частині відрізка $[1,n]$, а внесок квадратів, кубів, і т.д. в суму (*) є малим; тому практично всі логарифми $\ln p$ приблизно рівні $\ln x$, і функція $\psi(x)$ асимптотично рівна $\pi(x) \cdot \ln x$.

Класичні міркування: перехід до дзета-функції Рімана

Як випливає з тотожності Ейлера

$\zeta(s)=\prod_p \frac{1}1-p^{-s}$

ряд Діріхле, що відповідає функції фон Мангольдта, рівний мінус логарифмічній похідній дзета-функції:

$\sum_n \Lambda(n) n^{-s} = - \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}.$

Крім того, інтеграл по вертикальній прямій, що знаходиться праворуч від 0, від функції $a^s/s$ рівний $2\pi i$ при $a>1$ і 0 при $0<a<1$. Тому, множення правої і лівої частини на $\frac{1}{2\pi i} x^s/s$ і інтегрування по вертикальній прямій по $ds$ залишає в лівій частині суму $\Lambda(n)$ з $n\le x$. З іншого боку, застосування теореми про лишки дозволяє записати ліву частину у вигляді суми лишків; кожному нулю функції дзети відповідає полюс першого порядку її логарифмічної похідної, з лишком, рівним 1, а полюсу першого порядку в точці $s=1$ — полюс першого порядку з лишком, рівним $(-1)$.

Строга реалізація цієї програми дозволяє одержати явну формулу Рімана:

$\psi(x) =x-\sum_{{\rho: \, \zeta(\rho)=0, \atop 0<Re(\rho)<1}}\frac{x^\rho}{\rho} - \log(2\pi) -\frac{1}{2}\log(1-x^{-2}). \qquad \qquad (**)$

де сума обчислюється по нулях $\rho$ дзета-функції, що лежать в смузі $0<Re(s)<1$, доданок $-\log(2\pi)=-\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)}$ відповідає полюсу $x^s/s$ у нулі, а доданок $-\log(1-x^{-2})/2$ — так званим «тривіальним» нулям дзета-функції $s=-2,-4,-6,\dots$.

Відсутність нетривіальних нулів дзета-функції поза критичною смугою і спричиняє еквівалентність $\psi(x)\sim x\$ (сума у формулі (**) зростатиме повільніше, ніж x).

Елементарне доведення: завершення Ердеша-Сельберга

Основна теорема арифметики, що записується після логарифмування як

$\ln n = \sum_{p,k: \, p^k|n} \ln p$

таким чином формулюється в термінах арифметичних функцій і згортки Діріхле як

$\ln = \Lambda * \mathbf{1},$

де $\ln$ і $\mathbf{1}$ — арифметичні функції, логарифм аргументу і тотожна одиниця відповідно.

Формула обертання Мебіуса дозволяє перенести $\mathbf{1}$ у праву частину:

$\Lambda= \ln * \mu, \qquad \qquad (**)$

де $\mu$ — функція Мебіуса.

Сума лівої частини (**) — шукана функція $\psi$. У правій частині, застосування формули гіперболи Діріхле дозволяє звести суму згортки до суми $\sum_k L(n/k)\mu(k),$ де $L$ — сума логарифма. Застосування формули Ейлера — Маклорена дозволяє записати $L(n)$ як

$L(n)=n\ln n - n + \frac{1}{2} \ln n + \gamma + o(1),$

де $\gamma$ — стала Ейлера. Виділяючи з цього виразу доданки, що мають вигляд $\sum_k F(n/k)$ для відповідним чином підібраної функції F (а саме $F(x)=x-\gamma-1$), і позначаючи через R залишок, маємо через обертання Мебіуса

$\Lambda = F + \sum_k R(n/k)\mu(k).$

Оскільки $F(x)\sim x,$ залишається перевірити, що другий доданок має вигляд $o(x)$. Застосування леми Аскера дозволяє звести цю задачу до перевірки твердження $M(x)=o(x),$ де $M(x)=\sum_{n\le x} \mu(n)$ — сума функції Мебіуса.

Малість сум функції Мебіуса на підпослідовності випливає з формули обертання, застосованої до функції $1/n$.

Далі, функція Мебіуса в алгебрі арифметичних функцій (з мультиплікативною операцією-згорткою) задовольняє «диференціальному рівнянню» першого порядку

$\mu'=-\mu*\Lambda,$

де $f'(n)=f(n)\cdot \ln n$ — диференціювання в цій алгебрі (перехід до рядів Діріхле перетворює його на звичайне диференціювання функції). Тому вона задовольняє і рівнянню другого порядку

$\mu''= \mu*(\Lambda*\Lambda - \Lambda').$

Перехід до середнього у цьому рівнянні дозволяє те, що асимптотика суми функції $\Lambda_2=\Lambda*\Lambda+\Lambda$ оцінюється краще, ніж асимптотика сум $\Lambda$, дозволяє оцінювати відношення M(x) /x через середні значення такого відношення. Така оцінка разом з «малістю за послідовністю» і дозволяє одержати шукану оцінку $M(x)=o(x)$.

Посилання

Weisstein, Eric W. Prime Number Theorem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Література

• Jacques Hadamard. Sur la distribution des zéros de la fonction $\zeta(s)$ et ses conséquences arithmétiques. [1], Bull. Soc. Math. France, 24(1896), 199—220.
• Charles de la Vallée Poussin. Recherces analytiques sur la théorie des nombres premiers. Ann. Soc. Sci. Bruxells, 1897.
• П. Л. Чебышев, «Об определении числа простых чисел, меньших данной величины», 1848
• П. Л. Чебышев, «О простых числах», 1850
• Erdős, P. «Démonstration élémentaire du théorème sur la distribution des nombres premiers.» Scriptum 1, Centre Mathématique, Amsterdam, 1949.
• Selberg, A. «An Elementary Proof of the Prime Number Theorem», Ann. Math. 50, 305—313, 1949.
• А. Г. Постников, Н. П. Романов, «Упрощение элементарного доказательства А. Сельберга асимптотического закона распределения простых чисел», УМН, 10:4(66) (1955), с. 75-87