Теорема синусів

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема синусів — наступне тригонометричне твердження про властивості кутів та сторін довільного трикутника: нехай a, b і c є сторонами трикутника, а A, B і C — кути протилежні вказаним сторонам, тоді

{\sin A \over a}={\sin B \over b}={\sin C \over c}

Ця формула корисна при обчисленні решти двох сторін трикутника якщо відомі сторона та два прилеглі кути, типова проблема що постає при триангуляції. Також, якщо відомі дві сторони та один із кутів що не утворюється цими сторонами, ця формула дає два можливих значення для внутрішнього кута. В цьому випадку, часто лишень одне значення задовольняє умові, що сума трьох кутів трикутника дорівнює 180°; інакше отримаємо два можливих розв'язки.

Обернене значення числа в теоремі синусів (тобто a/sin(A)) дорівнює діаметру D описаного навколо трикутника кола (єдине коло що проходить через три точки A, B і C). Таким чином теорему можна переписати у вигляді

{a \over \sin A }={b \over \sin B }={c \over \sin C }=D

Доведення[ред.ред. код]

Law of sines proof.png

Нехай дано трикутник із сторонами a, b, і c, з протилежними кутами A, B, і C. Опустимо перпендикуляр довжиною h з C на c .

Бачимо, що:

\sin A = \frac{h}{b} та \; \sin B = \frac{h}{a}

Звідси:

h = b\,\sin A = a\,\sin B

також

\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}

Повторимо операцію з кутом A і стороною a, і дістанемо:

\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}

Див. також[ред.ред. код]