Теореми Веєрштрасса в банахових просторах

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Теоре́ми Веєрштра́сса в Бана́хових про́сторах

Нехай  — метрика в метричному просторі , тобто :

1. для будь-яких .

2. .

3. .

Означення 1. Функціонал називається  — напівнеперервним знизу, якщо .

Означення 2. Множина з метричного простору називається  — компактною, якщо з довільної послідовності точок можна обрати підпослідовність збіжну до .

Теорема 1. Якщо функція є визначеною, скінченною,  — напівнеперервною знизу на  — компактній множині , то досягає на свого мінімального значення. Тобто існує .

Нехай тепер  — банахів простір.

Означення 3. Послідовність називається слабко збіжною до елемента , якщо для будь-якого лінійного неперервного функціонала .

Означення 4. Функціонал називається слабконапівнеперервним знизу, якщо з того що випливає, що .

Означення 5. Множина з банахового простору називається слабкокомпактною, якщо з довільної послідовності точок можна обрати підпослідовність, що слабко збігається до деякої .

Теорема 2. Якщо функція визначена, скінченна, слабконапівнеперервна знизу на слабкокомпактній множині , то досягає на свого мінімального значення.

Див. також[ред. | ред. код]