Теореми Силова

В теорії груп, теореми Силова стверджують про існування підгруп певного порядку, визначають їх властивості. Теореми доведені норвезьким математиком Силовом в 1872 р.

Визначення

Нехай $G$ — скінченна група, а $p$ — просте число, що ділить порядок $G$. Підгрупи порядку $p^t$ називаються $p$-підгрупами. Нехай маємо $|G| = p^ns$, де $s$ не ділиться на $p$. Тоді $p$-підгрупою Силова називається підгрупа $G$, що має порядок $p^n$.

Твердження теорем

Нехай $G$ — скінченна група. Тоді:

• $p$-підгрупа Силова існує.
• Будь-яка $p$-підгрупа міститься в деякій $p$-підгрупі Силова. Всі $p$-підгрупи Силова спряжені (тобто кожну можна представити в виді $gPg^{-1}$, де $g$ — елемент групи, а $P$ — підгрупа Силова із теореми 1).
• Кількість $p$-підгруп Силова рівне одиниці за модулем $p$ $N_p \equiv 1 \pmod{p}$ і ділить порядок $G$.

Доведення

1. Спершу доведемо, що ${p^km \choose p^k} \equiv m \pmod{p}$

Справді здійснюючи обчислення за модулем p отримуємо:

$(X+1)^{p^r} \equiv X^{p^r} + 1^{p^r} = X^{p^r} + 1 \pmod{p}$

Піднісши обі частини до степеня m маємо:

$(X+1)^{p^rm} \equiv (X^{p^r} + 1)^m \pmod{p}$

В лівій частині коефіцієнт біля $X^{p^r}$ рівний ${p^km \choose p^k},$ а в правій m, що й доводить твердження .

Як наслідок маємо, що ${p^km \choose p^k}$ не ділиться на p, якщо на p не ділиться число m.

Нехай |G| = p^km, і Ω позначає множину підмножин G потужності p^k. Тоді маємо:

$|\Omega | ={p^km \choose p^k}\mathrm{.}$

Розглянемо дію G на множині Ω, що полягає у лівому множенні. Тоді

$|\Omega | =\sum_{[o],\ o\in\Omega}|Go|\mathrm{.}$

де сума береться по всіх орбітах множини Ω. Зрозуміло, що кількість елементів принаймі однієї з цих орбіт не ділиться на p, оскільки на p не ділиться кількість елементів множини Ω, що випливає з доведеного вище. Нехай S  - один з елементів цієї орбіти і P його стабілізатор. Тоді для величини орбіти маємо:

$[G : P] = \frac{|G|}{|P|}=\frac{p^r m}{|P|}$

Для того, щоб це число не ділилося на p необхідно $p^r | |P|$ і як наслідок p^r ≤ |P|. З іншої сторони для будь-якого $x\in S$ маємо відображення [g ↦ gx] ' ін'єктивним відображенням P в S (дане відображення є відображенням в S, оскільки P є стабілізатором S). Відповідно |P|≤p^r і, поєднуючи дві нерівності одержимо |P|= p^r '

2. Нехай H — довільна p-підгрупа G. Розглянем її дію на множині правих класів суміжності G/P лівими зсувами, де P — p-підгрупа Силова. Кількість елементів довільної нетривіальної орбіти повинно ділитися на p. Але |G/P| не ділиться на p, відповідно у дії є нерухома точка gP. Тому $\forall h \in H \quad hga = ga',\quad a,a' \in P$, а значить, $h = ga'a^{-1}g^{-1} \in gPg^{-1}$, тобто H є підгрупою деякої p-підгрупи Силова. Якщо ж H — сама є p-підгрупою Силова, то вона спряжена з P.

3. Кількість p-підгруп Силова рівна [G:N_G(P)] і, відповідно, ділить |G|. З попереднього маємо, що множина p-підгруп Силова рівна X = {gPg^-1}. Розглянемо дію P на X спряженнями. Нехай H із X — деяка нерухома точка. Тоді P і H належать нормалізатору підгрупи H і при цьому спряжені в N_G(H) как p-підгрупи Силова. Але H нормальна в своєму нормалізаторі, тому H = P и єдиною нерухомою точкою дії є P. Оскільки порядки всіх нетривіальних орбіт кратні p, одержуємо $N_p \equiv 1 \pmod{p}$.

Див. також

• P-група

Література

• Курош А.Г. (1967). Теория групп (вид. третє). Москва: Наука. с. 648. ISBN 5-8114-0616-9. 
• А. И. Кострикин. Введение в алгебру, III часть. М.: Физматлит, 2001.
• Э. Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал-Пресс, 2002.