Теореми Силова

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В теорії груп, теореми Силова стверджують про існування підгруп певного порядку, визначають їх властивості. Теореми доведені норвезьким математиком Силовом в 1872 р.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай G — скінченна група, а pпросте число, що ділить порядок G. Підгрупи порядку p^t називаються p-підгрупами. Нехай маємо  |G| = p^ns, де s не ділиться на p. Тоді p-підгрупою Силова називається підгрупа G, що має порядок p^n.

Твердження теорем[ред.ред. код]

Нехай G — скінченна група. Тоді:

  • p-підгрупа Силова існує.
  • Будь-яка p-підгрупа міститься в деякій p-підгрупі Силова. Всі p-підгрупи Силова спряжені (тобто кожну можна представити в виді gPg^{-1}, де g — елемент групи, а P — підгрупа Силова із теореми 1).
  • Кількість p-підгруп Силова рівне одиниці за модулем p N_p \equiv 1  \pmod{p} і ділить порядок G.

Доведення[ред.ред. код]

1. Спершу доведемо, що {p^km \choose p^k} \equiv m \pmod{p}

Справді здійснюючи обчислення за модулем p отримуємо:

(X+1)^{p^r} \equiv X^{p^r} + 1^{p^r} = X^{p^r} + 1 \pmod{p}

Піднісши обі частини до степеня m маємо:

(X+1)^{p^rm} \equiv (X^{p^r} + 1)^m \pmod{p}

В лівій частині коефіцієнт біля X^{p^r} рівний {p^km \choose p^k}, а в правій m, що й доводить твердження .

Як наслідок маємо, що {p^km \choose p^k} не ділиться на p, якщо на p не ділиться число m.

Нехай |G| = pkm, і Ω позначає множину підмножин G потужності pk. Тоді маємо:

|\Omega | ={p^km \choose p^k}\mathrm{.}

Розглянемо дію G на множині Ω, що полягає у лівому множенні. Тоді

|\Omega | =\sum_{[o],\ o\in\Omega}|Go|\mathrm{.}

де сума береться по всіх орбітах множини Ω. Зрозуміло, що кількість елементів принаймі однієї з цих орбіт не ділиться на p, оскільки на p не ділиться кількість елементів множини Ω, що випливає з доведеного вище. Нехай S  - один з елементів цієї орбіти і P його стабілізатор. Тоді для величини орбіти маємо:

[G : P] = \frac{|G|}{|P|}=\frac{p^r m}{|P|}

Для того, щоб це число не ділилося на p необхідно p^r | |P| і як наслідок pr ≤ |P|. З іншої сторони для будь-якого x\in S маємо відображення [ggx] ' ін'єктивним відображенням P в S (дане відображення є відображенням в S, оскільки P є стабілізатором S). Відповідно |P|≤pr і, поєднуючи дві нерівності одержимо |P|= pr '


2. Нехай H — довільна p-підгрупа G. Розглянем її дію на множині правих класів суміжності G/P лівими зсувами, де P — p-підгрупа Силова. Кількість елементів довільної нетривіальної орбіти повинно ділитися на p. Але |G/P| не ділиться на p, відповідно у дії є нерухома точка gP. Тому \forall h \in H \quad hga = ga',\quad a,a' \in P, а значить, h = ga'a^{-1}g^{-1} \in gPg^{-1}, тобто H є підгрупою деякої p-підгрупи Силова. Якщо ж H — сама є p-підгрупою Силова, то вона спряжена з P.

3. Кількість p-підгруп Силова рівна [G:NG(P)] і, відповідно, ділить |G|. З попереднього маємо, що множина p-підгруп Силова рівна X = {gPg-1}. Розглянемо дію P на X спряженнями. Нехай H із X — деяка нерухома точка. Тоді P і H належать нормалізатору підгрупи H і при цьому спряжені в NG(H) как p-підгрупи Силова. Але H нормальна в своєму нормалізаторі, тому H = P и єдиною нерухомою точкою дії є P. Оскільки порядки всіх нетривіальних орбіт кратні p, одержуємо N_p \equiv 1 \pmod{p}.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]