Теореми про ізоморфізми

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теореми про ізоморфізми — це три теореми в абстрактній алгебрі, що описують зв'язок між гомоморфізмами, фактормножинами і під-об'єктами.

Існують версії цих теорем для груп, кілець, модулів, векторних просторів, алгебр Лі та інших алгебраїчних структур. В універсальній алгебрі ці теореми узагальнуються через алгебри довільної сигнатури і конгруенції.

Групи[ред.ред. код]

Перша теорема[ред.ред. код]

Якщо φ: G → H гомоморфізм груп, тоді:

  1. Ядро φ є нормальною підгрупою в G;
  2. Образ φ є підгрупою в H;
  3. Образ φ є ізоморфним до факторгрупи G / ker(φ).

Друга теорема[ред.ред. код]

Якщо G — група, S — підгрупа в G, N — нормальна підгрупа в G, тоді:

  1. Добуток SN є підгрупою в G;
  2. Перетин S ∩ N є нормальною підгрупою в S;
  3. Факторгрупи (SN) / N та S / (S ∩ N) є ізоморфними.

Третя теорема[ред.ред. код]

Якщо G — група, N, K — нормальні підгрупи в G, такі що K ⊆ N, тоді:

  1. N / K є нормальною підгрупою в G / K;
  2. Факторгрупа (G / K) / (N / K) ізоморфна до G / N.

Кільця[ред.ред. код]

Зміст теорем для кілець є подібним, але поняття нормальної підгрупи замінюється на ідеалом кільця.

Перша теорема[ред.ред. код]

Якщо φ: R → S гомоморфізм кілець, тоді:

  1. Ядро φ є ідеалом в R;
  2. Образ φ є підкільцем в S;
  3. Образ φ є ізоморфним до факторкільця R / ker(φ).

Друга теорема[ред.ред. код]

Якщо R — кільце, S — підкільце в R, I — ідеал в R, тоді:

  1. Сума S + I є підкільцем в R;
  2. Перетин S ∩ I є ідеалом в R;
  3. Факторкільця (S + I) / I та S / (S ∩ I) є ізоморфними.

Третя теорема[ред.ред. код]

Якщо R — кільце, A, B — ідеали R, такі що B ⊆ A, тоді:

  1. A / B є ідеалом в R / B;
  2. Факторкільце (R / B) / (A / B) ізоморфно до R / A.

Модулі[ред.ред. код]

Теореми про ізоморфізм для векторних просторів та абелевих груп є частковим випадком теорем для модулів. Для векторних просторів детальніше див. Ядро та образ лінійного оператора.

Перша теорема[ред.ред. код]

Якщо φ: M → N гомоморфізм модулів, тоді:

  1. Ядро φ є підмодулем в M;
  2. Образ φ є підмодулем в N;
  3. Образ φ є ізоморфним до фактормодулю M / ker(φ).

Друга теорема[ред.ред. код]

Якщо M — модуль, S, T — підмодулі в M, тоді:

  1. Сума S + T є підмодулем в M;
  2. Перетин S ∩ T є підмодулем в M;
  3. Фактормодулі (S + T) / T та S / (S ∩ T) є ізоморфними.

Третя теорема[ред.ред. код]

Якщо M — модуль, S, T — підмодулі M, такі що T ⊆ S, тоді:

  1. S / T є підмодулем в M / T;
  2. Фактормножина (M / T) / (S / T) ізоморфна до M / S.

Універсальні алгебри[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]