Теорія Морса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Тео́рія Мо́рса — загальна назва теорій, що ґрунтуються на ідеях Морса і описують зв'язок алгебро-топологічних властивостей топологічного простору з критичними точками гладкої функції (функціоналів) на ньому. Теорія Морса є розділом варіаційного числення в цілому; проте останнє ширше: наприклад, воно включає в себе теорію категорій в сенсі Люстерника — Шнірельмана.

Основні результати[ред.ред. код]

  • Якщо множина f^{-1}([a,b]) компактна, не перетинається з краєм многовиду M і містить рівно одну критичну точку, що має індекс Морса k, то f^{-1}(b) діффеоморфна многовиду, отриманому з f^{-1}(a) приклеюванням ручки індексу k, див. хірургія.
  • Кожній функції Морса f на гладкому многовиді M (без края) відповідає гомотопічно еквівалентний многовиду M клітинний простір, клітини якого перебувають у бієктивній відповідності до критичних точок функції f, причому розмірність клітини дорівнює індексу відповідної критичної точки. Важливі наслідки цього подання:
    • Нерівність Морса.
    • Інструмент для вивчення топології многовидів. Причому важливі не тільки індекси, але і кількість критичних точок. Припустимо, на замкнутому многовиді задана функція Морса f:M\to R, що має в точности m критичних точок (індекси яких невідомі), — як це впливає на топологію многовиду?

Література[ред.ред. код]

  • Милнор Дж. Теория Морса. — М.: Мир, 1965. — 184 с.
  • Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.