Теорія Флоке

Теорія Флоке (англ. Floquet theory, рос. теория Флоке) — область теорії звичайних диференціальних рівнянь, що досліджує розв'язки лінійних диференціальних рівнянь вигляду

$\dot x= A(t)x$,

де $A(t)=A(t+T)$ — матриця розмірності $N \times N$, елементи якої є неперервними функціями змінної t. Носить ім'я французького математика Гастона Флоке, який вніс найбільший внесок в її створення. Основою теорії є теорема Флоке.

Теорема Флоке є одновимірним випадком теореми Блоха. Остання є важливою теоремою фізики твердого тіла: вставновлює вид хвильової функції частинки, що знаходиться в періодичному потенціалі.

Теорема Флоке

Якщо $X(t)$ є фундаментальним матричним розв'язком системи рівнянь $\dot{x}= A(t) x$, де $\ A(t)=A(t+T)$ для всіх $t \in \mathbb{R}$, справедливі такі співвідношення:

• $X(t+T)=X(t)~ X^{-1}(0)~ X(T).$

• Для кожної (можливо комплексної) матриці $B$, такої, що задовільняє співвідношенню

$e^{TB}=X^{-1}(0)~ X(T)$,

існує періодична з періодом $T$ матрична функція $P(t)$ така, що

$X(t) = P(t)~e^{tB}$.

• Існують дійсна матриця $R$ та дійсна періодична з періодом $2T$ матрична функція $Q(t)$, така що

$X(t) = Q(t)~e^{tR}$.

Матриця $e^{TB}$ називається матрицею монодромії, а її власні значення - множниками Флоке або характеристичними множниками.

Література

• Chicone, Carmen. Ordinary Differential Equations with Applications. Springer-Verlag, New York 1999
• G. Iooss, D. D. Joseph (1997). Elementary Stability and Bifurcation Theory (англійська) (вид. 2nd). Springer. ISBN 978-0387970684.