Теорія Флоке

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорія Флоке (англ. Floquet theory, рос. теория Флоке) — область теорії звичайних диференціальних рівнянь, що досліджує розв'язки лінійних диференціальних рівнянь вигляду

\dot x= A(t)x,

де A(t)=A(t+T)матриця розмірності N \times N, елементи якої є неперервними функціями змінної t. Носить ім'я французького математика Гастона Флоке, який вніс найбільший внесок [1] в її створення. Основою теорії є теорема Флоке.

Теорема Флоке є одновимірним випадком теореми Блоха. Остання є важливою теоремою фізики твердого тіла: вставновлює вид хвильової функції частинки, що знаходиться в періодичному потенціалі.

Теорема Флоке[ред.ред. код]

Якщо X(t) є фундаментальним матричним розв'язком системи рівнянь \dot{x}= A(t) x, де \ A(t)=A(t+T) для всіх t \in \mathbb{R}, справедливі такі співвідношення:

  •  X(t+T)=X(t)~ X^{-1}(0)~ X(T).
  • Для кожної (можливо комплексної) матриці B, такої, що задовільняє співвідношенню
e^{TB}=X^{-1}(0)~ X(T),
існує періодична з періодом T матрична функція P(t) така, що
X(t) = P(t)~e^{tB}.
  • Існують дійсна матриця R та дійсна періодична з періодом 2T матрична функція Q(t), така що
X(t) = Q(t)~e^{tR}.

Матриця e^{TB} називається матрицею монодромії, а її власні значення - множниками Флоке або характеристичними множниками.

Наслідки та застосування[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

  1. Gaston Floquet, "Sur les équations différentielles linéaires à coefficients périodiques," Ann. École Norm. Sup. 12, 47-88 (1883).

Література[ред.ред. код]

  • Chicone, Carmen. Ordinary Differential Equations with Applications. Springer-Verlag, New York 1999
  • G. Iooss, D. D. Joseph (1997). Elementary Stability and Bifurcation Theory (англійська) (вид. 2nd). Springer. ISBN 978-0387970684.  Текст «пубмісяць

» проігноровано (довідка)