Теорія випадкових процесів

Теорія випадкових процесів — підрозділ математики (а саме теорії імовірностей), який займається вивченням випадкових процесів, їх властивостей та застосування. В рамках цієї теорії запроваджено концепцію інтеграла від випадкового процесу відносно випадкового процесу. Використовується для моделювання систем, які поводяться випадково.

Найбільш відомий випадковий процес — Вінерівський процес (названо на честь американського математика Норберта Вінера), поширена також назва Броунівський рух, хоча Вінерівський процес є теоретичною категорією і використовується для моделювання Броунівського руху, що і зробив Альберт Ейнштейн. Також Вінерівський процес використовується для моделювання різного роду дифузійних процесів у фізиці. З 70х років 20 століття Вінерівський процес набув у фінансовій математиці для моделювання прибутків від акцій та інших похідних цінних паперів, а також відсоткових ставок за опціонами.

Інтеграл Іто

Інтеграл Іто є центральним об'єктом вивчення стохастичного аналізу. Інтеграл $\int H\,dX$ визначений для напівмартингалів X і локально обмеженого передбачуваного (адаптованого) процесу H.

Інтеграл Стратоновича

Інтеграл Стратоновича напівмартингалу $X$ по іншому напівмартингалі Y може бути визначений через інтеграл Іто як

$\int_0^t X_{s-} \circ d Y_s : = \int_0^t X_{s-} d Y_s + \frac{1}{2} \left [ X, Y\right]_t^c,$

де [X, Y]_t^c позначення для квадратичної коваріації неперервної частини Xз неперервною частиною  Y. Альтернативне позначення інтегралу Стратоновича

$\int_0^t X_s \, \partial Y_s .$

Див. також

• Гауссівський процес

Джерела

• А. В. Скороход — Лекції з теорії випадкових процесів — 1990, Київ: Либідь. ISBN 5-11-001701-8