Теорія збурень

Квантова механіка

$\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}$

Принцип невизначеності

Вступ · Історія Математичні основи Основа Класична механіка · Інтерференція · Бра-кет нотація · Гамільтоніан · Стара квантова теорія Фундаментальні поняття Вектор стану · Хвильова функція · Суперпозиція · Заплутаність · Вимірювання · Невизначеність · Виключення Паулі · Дуалізм · Декогеренція · Теорема Еренфеста · Тунелювання Експерименти Дослід Девіссона — Джермера · Дослід Штерна — Герлаха · Кіт Шредінгера · Дослід Поппера · Дослід Юнга · Перевірка нерівностей Белла · Фотоефект · Ефект Комптона · Ефект Рамзауера Формулювання Картина Шредінгера · Картина Гейзенберга · Картина взаємодії · Матрична квантова механіка · Інтеграл вздовж траєкторій Рівняння Рівняння Шредінгера · Рівняння Паулі · Рівняння Клейна — Гордона · Рівняння Дірака Інтерпретації Копенгагенська інтерпретація · Теорія прихованих параметрів · Багатосвітова Складні теми Квантова теорія поля · Квантова електродинаміка · Квантова хромодинаміка · Квантова гравітація · Теорія всього Наближені методи Квазікласичне наближення · Теорія збурень · Варіаційний метод Відомі науковці Планк · Ейнштейн · Шредінгер · Гейзенберг · Йордан · Бор · Паулі · Дірак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Еверетт

Тео́рія збу́рень — метод розв'язку математичних задач, що базується на відомому розв'язку й розглядає відхилення від цього розв'язку пропорційними певному малому параметру.

Квантова механіка

Метод збурень є одним із основних методів знаходження розв'язків квантово-механічних рівнянь руху, зокрема рівняння Шредингера. Розрізняють метод збурень для стаціонарного рівняння Шредингера й метод збурень для часового рівняння Шредінгера в тому випадку, коли збурення залежить від часу.

Теорія збурень для стаціонарного рівняння Шредінгера

Теорія збурень застосовується тоді, коли потрібно знайти власні значення й власні функції гамільтоніана

$\hat{H} = \hat{H}_0 + \lambda \hat{V}$,

де $H_0$ — гамільтоніан із відомим спектром, $\lambda$ — малий параметр, $\hat{V}$ — оператор збурення.

Для хвильових функції $\psi_n^{(0)}$ n-го стану незбуреного гамільтоніана та енергії стану справедливе співвідношення

$\hat{H}_0 \psi_n^{(0)} = E_n^{(0)} \psi_n^{(0)}$

Для знаходження розв'язку проводиться розклад хвильової функції в ряд Тейлора щодо малого параметру

$\psi = \psi^{(0)} + \lambda \psi^{(1)} + \lambda^2 \psi^{(2)} + \ldots$.

Власні функції незбуреного гамільтоніана складають ортонормований базис, тому будь-яку хвильову функцію можна подати у вигляді

$\psi = \sum_m c_n \psi_n^{(0)}$.

Таким чином, розклад в ряд Тейлора хвильової функції аналогічний розкладу коефіцієнтів $c_n$:

$c_n = c_n^{(0)} + \lambda c_n^{(1)} + \lambda^2 c_n^{(2)} + \ldots$

Аналогічним чином розкладається в ряд Тейлора енергія власного стану

$E = E^{(0)} + \lambda E^{(1)} + \lambda^2 E^{(2)} + \ldots$.

У першому наближенні теорії збурень (коли враховуються лише лінійні по $\lambda$ члени) енергія n-го стану отримує приріст

$E_n = E_{n}^{(0)} + \lambda\int \psi_{n}^{(0)*} \hat{V} \psi_{n}^{(0)} dV$.

Зміна хвильової фунції визначається формулою

$\psi_n^{(1)} = \sum_{m \neq n} \frac{V_{nm}} {E_m^{(0)} - E_n^{(0)}} \psi_m^{(0)}$,

де $E_{m}^{(0)}$ — власні значення незбуреного гамільтоніану $\hat{H}_0$, а

$V_{nm} = \int \psi_n^{(0)*} \hat{V} \psi_n^{(0)} dV$

Ця зміна ортогональна початковій хвильовій функції $\psi_n^{(0)}$.

У другому наближенні теорії збурень враховуються члени, пропорційні $\lambda^2$.

$E_{n}^{(2)} = \sum_{m \neq n} \frac{|V_{nm}|^2}{E_{n}^{(0)} - E_{m}^{(0)}}$.

$\psi_n^{(2)} = - \frac{1}{2} \sum_{m \neq n} \frac{V_{nm}V_{mn}}{(E_{n}^{(0)} - E_{m}^{(0)})^2} \psi_n^{(0)} + \sum_{m \neq n} \left( \sum_{k \neq m} \frac{V_{nk} V_{km}}{(E_{n}^{(0)} - E_{m}^{(0)})(E_{n}^{(0)} - E_{k}^{(0)})} - \frac{V_{nm} V_{mm}}{(E_{n}^{(0)} - E_{m}^{(0)})^2} \right) \psi_m^{(0)}$

Очевидно, що поправка до енергії залишатиметься малою лише при умові, коли $\lambda V_{nm} \ll E_{n}^{(0)} - E_{m}^{(0)}$. Тобто, теорія збурень в поданому вигляді справедлива лише для систем і станів, енергії яких не невироджені й не близькі між собою. Для систем із близькими рівнями енергій і вироджених систем формули теорії збурень змінюються.

Теорія збурень вироджених рівнів

Збурення зазвичай призводить до зняття виродження. Стани, які в незбуреному стані мали однакову енергію, при врахуванні збурення отримують різне значення енергії.

У випадку виродження існують власних функцій $\varphi_{n\alpha}$ незбуреного гамільтоніана $\hat{H}_0$, що відповідають енергії $E_n^{(0)}$

$\hat{H}_0 \varphi_{n\alpha} = E_n^{(0)} \varphi_{n\alpha}$.

Будь-яка лінійна комбінація цих функцій теж є власною функцією незбуреного гамільтоніана. Шукаючи розв'язок збуреної задачі у виляді

$\psi_n = \sum_{\alpha} a_{n\alpha} \varphi_{n\alpha}$

де $a_{n\alpha}$ — невизначені коефіцієнти, отримуємо в першому наближенні по малому параметру $\lambda$ систему рівнянь на власні значення енергії

$(E - E_n^{(0)}) a_{n\alpha} - \lambda \sum_\beta V_{n\alpha,n\beta} a_{n\beta} = 0$.

Відхилення отриманих значень енергії від положення n-го рівня незбуреної задачі пропорційне малому параметру. Визначаючи власні значення енергії можна одночасно знайти коефіцієнти $a_{n\alpha}$, які визначають хвильові функції збурених станів.

У залежності від типу збурення зняття виродження може бути неповним.

Залежне від часу збурення

Якщо збурення залежить від часу потрібно розв'язувати нестаціонарне рівняння Шредінгера

$i \hbar \frac{\partial \psi(t)}{\partial t} = ( \hat{H}_0 + \lambda\hat{V}(t))\psi(t)$.

Функцію $\psi(t)$ можна представити у вигляді розкладу по ортонормованій системі власних функцій гамільтоніана незбуреної задачі $\hat{H}_0$

$\psi(t) = \sum_n c_n(t)e^{-iE_nt/\hbar}\psi_n$.

Залежні від часу коефіцієнти розкладу $c_n(t)$ повинні задовольняти систему рівнянь

$i\hbar \frac{dc_m}{dt} = \lambda\sum_n V_{mn}(t)e^{i\omega_{mn}t}c_n(t)$.

де $\omega_{mn} = (E_m - E_n)/\hbar$, а $V_{mn}(t) = \int \psi_m^* \hat{V}(t)\psi_n dV$. Ця система рівнянь повністю еквівалентна рівнянню Шредінгера. Вважаючи $\lambda$ малим параметром, розв'язок можна шукати у вигляді розкладу

$c_n(t) = c_n^{(0)}(t) + \lambda c_n^{(1)}(t) + \lambda^2 c_n^{(2)}(t) + \ldots$.

Збираючи члени з однаковими степенями щодо $\lambda$, можна отримати ланцюжок рівняннь для наближених розв'язків

$i\hbar \frac{dc^{(0)}_m}{dt} = 0$

$i\hbar \frac{dc^{(1)}_m}{dt} = \sum_n V_{mn} c_n^{(0)}(t) e^{i\omega_{mn}t}$

$i\hbar \frac{dc^{(2)}_m}{dt} = \sum_n V_{mn} c_n^{(1)}(t) e^{i\omega_{mn}t}$

тощо.

В нульовому наближенні теорії збурень хвильова функція не змінюється. Припускаючи, що до збурення система знаходилася в одному з стаціонарних станів s, $c_m^{(0)} = \delta_{ms}$.

В першому наближенні теорії збурень

$c_n^{(1)}(t) = \frac{1}{i\hbar} \int_0^t V_{ns}(t^\prime) e^{i\omega_{ns}t^\prime} dt^\prime$.

Таким чином, ймовірність того, що квантова система під дією збурення перейде із стану s в стан n задається формулою

$|\lambda c_n^{(1)}(t)|^2 = \frac{1}{\hbar^2} \left| \int_0^t \lambda V_{ns}(t^\prime)e^{i\omega_{ns}t^\prime} dt^\prime \right|^2$

Монохроматичне збудження

Якщо збудження монохроматичне, тобто його можна представити у вигляді

$\lambda \hat{V}(t) = \hat{F}e^{-i\omega t} + \hat{F}^\dagger e^{i\omega t}$,

то інтегрування можна виконати й отримати

$|\lambda c_n^{(1)}(t)|^2 = \frac{1}{\hbar^2} \left| F_{ns} \frac{1 - e^{i(\omega_{ns}- \omega)t}} {\omega_{ns} - \omega} + F^*_{ns} \frac{1-e^{i(\omega_{ns}+ \omega)t}}{\omega_{ns} + \omega} \right|$

Ймовірність переходу системи зі стану s в стан n має полюси при $\omega = \pm \omega_{ns}$. При частотах зовнішнього збудження, які не збігаються з різницями енергій квантових станів, поділених на сталу Планка, ця ймовірність мала величина, що осцилює з часом. При збігу виникає явище резонансу і ймовірність переходу значно зростає.

При $\omega_{ns} > 0$ другим членом можна знехнувати, і тоді

$|\lambda c_n^{(1)}(t)|^2 = \frac{4}{\hbar^2} |F_{ns}|^2 \frac{\sin^2 \frac{(\omega_{ns} - \omega)t}{2}}{(\omega_{ns} - \omega)^2}$.

При $t \rightarrow \infty$ залежний від часу множник переходить у дельта-функцію Дірака, а ймовірність переходу за одиницю часу задається золотим правилом Фермі

$P_{ns} = \frac{2\pi}{\hbar} |F_{ns}|^2 \delta(E_n - E_s + \hbar \omega)$.

Джерела

• Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л.: ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
• Федорченко А. М. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика // Теоретична фізика. — К.: Вища школа, 1993. — Т. 2. — 415 с.
• Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К.: Либідь, 2002. — 392 с.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория // Теоретическая физика. — М.: Физматлит, 2008. — Т. 3. — 800 с.

Це незавершена стаття з фізики. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.