Теорія ймовірностей

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорія ймовірностей — розділ математики, що вивчає закономірності випадкових явищ: випадкові події, випадкові величини, їхні функції, властивості і операції над ними. Математичні моделі в теорії ймовірностей описують з деяким ступенем точності випробування (експерименти, спостереження, вимірювання), результати яких неоднозначно визначаються умовами випробування.

Математичним апаратом теорії ймовірностей є комбінаторика та теорія міри.

Історія[ред.ред. код]

Виникнення теорії ймовірностей як науки відносять до середніх століть і першим спробам математичного аналізу азартних ігор. Спочатку її основні поняття не мали строго математичного вигляду, до них можна було ставитися як до деяких емпіричних фактів, як до властивостей реальних подій, і вони формулювалися в наочних виставах. Найбільш ранні роботи вчених у галузі теорії ймовірностей відносяться до XVII століття. Досліджуючи прогнозування виграшу в азартних іграх, Блез Паскаль і П'єр Ферма відкрили перші ймовірнісні закономірності, що виникають при киданні костей .

Вважають, що вперше Паскаль зайнявся теорією ймовірностей під впливом питань, поставлених перед ним одним з придворних французького двору Шевальє де Мере (1607-1648), що був азартним гравцем, але гра, теж була для нього приводом для досить глибоких роздумів. Де Мере запропонує Паскалю два знамениті питання, перше з яких він спробував вирішити сам.
Питання були такі[джерело не вказано 349 днів]:

  • 1. Скільки разів треба кидати дві гральні кістки, щоб випадків випадання відразу двох шісток було більше половини від загального числа кидань?
  • 2. Як справедливо розділити поставлені на кон двома гравцями гроші, якщо вони з якихось причин припинили гру передчасно?

Ці завдання обговорювалися в листуванні Б. Паскаля і П.Ферма (1601-1665) і послужили приводом для початкового введення математичного очікування, і спроб формулювання основних теорем додавання і добутку ймовірностей. Під впливом піднятих і розглянутих ними питань вирішенням тих же завдань займався і Християн Гюйгенс. При цьому з листуванням Паскаля і Ферма він знайомий не був, тому методику рішення винайшов самостійно. Його робота, в якій вводяться основні поняття теорії ймовірностей (поняття ймовірності як величини шансу; математичне сподівання для дискретних випадків, у вигляді ціни шансу), а також використані теореми додавання і множення ймовірностей (не сформульовані явно), вийшла в друкованому вигляді на двадцять років раніше (1657 рік) видання листів Паскаля і Ферма (1679 рік).

Справжню наукову основу теорії ймовірностей заклав великий математик Якоб Бернуллі (1654-1705). Його праця «Мистецтва припущень» став першим грунтовним трактатом з теорії ймовірностей. Він містив загальну теорію перестановок і поєднань. А відкритий ним знаменитий закон великих чисел дав можливість встановити зв'язок між імовірністю-якого випадкового події і частотою його появи, що спостерігається безпосередньо з досвіду. У першій половині XIX століття теорія ймовірностей починає застосовуватися до аналізу помилок спостережень; Лаплас і Пуассон довели перші граничні теореми. У другій половині XIX століття значний внесок внесли російські вчені П. Л. Чебишов, А. А. Марков і О. М. Ляпунов. В цей час були доведені закон великих чисел, центральна гранична теорема, а також розроблена теорія ланцюгів Маркова. Сучасний вигляд теорія ймовірностей отримала завдяки аксіоматизації[джерело не вказано 349 днів], запропонованої Андрієм Миколайовичем Колмогоровим. У результаті теорія ймовірностей придбала строгий математичний вигляд і остаточно стала сприйматися як один з розділів математики.

Основні положення[ред.ред. код]

Під випробуванням мається на увазі здійснення запланованих дій і отримання результату за виконання певного комплексу умов S. При цьому припускається, що ці умови є фіксованими; вони або об'єктивно існують, або створюються штучно і можуть бути відтворені необмежене число разів.

Прикладами випробування: виготовлення деталі або виробу, кидання монети або грального кубика, розігрування лотереї, проведення аукціону.

Предметом дослідження теорії ймовірності є специфічні закономірності, притаманні результатам масових однорідних (для яких зберігається комплекс умов S) випробувань. При цьому досліджуються випробування, які характеризуються статистичною регулярністю, а наслідки випробувань можуть бути різними.

Результатом випробування є подія. Події поділяються на: правдиві (однозначно відбудуться), неможливі, випадкові, сумісні, несумісні. Позначаються великими латинськими літерами, наприклад, А, B, С.

Основні об'єкти дослідження теорії ймовірностей:

  1. випадкова подія та її ймовірність;
  2. випадкова величина та її функція розподілу;
  3. випадковий процес та його ймовірнісна характеристика.

Теми теорії ймовірностей[ред.ред. код]

Особливість теорії ймовірностей[ред.ред. код]

  • У теорії ймовірностей випадкову змінну вважають відомою. [1]

Ця особливість відрізняє предмет і методи теорії ймовірностей від предмету і методів математичної статистики, де випадкову змінну досліджують після одержання статистичного матеріалу.

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Сеньо П.С. Теорія ймовірностей та математична статистика: Підручник. — 2-ге вид., перероб. і доп. — К.: Знання, 2007. — С. 291.

Джерела[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]


Основні розділи Математики
АлгебраДискретна математикаДиференціальні рівнянняГеометріяКомбінаторикаЛінійна алгебраМатематична логікаМатематична статистикаМатематичний аналізТеорія ймовірностейТеорія множинТеорія чиселТригонометріяМатематична фізикаТопологіяФункціональний аналіз