Теорія ймовірностей

Теорія ймовірностей — розділ математики, що вивчає закономірності випадкових явищ: випадкові події, випадкові величини, їхні функції, властивості і операції над ними. Математичні моделі в теорії ймовірностей описують з деяким ступенем точності випробування (експерименти, спостереження, вимірювання), результати яких неоднозначно визначаються умовами випробування.

Математичним апаратом теорії ймовірностей є комбінаторика та теорія міри.

Історія

Виникнення теорії ймовірностей як науки відносять до середніх століть і першим спробам математичного аналізу азартних ігор. Спочатку її основні поняття не мали строго математичного вигляду, до них можна було ставитися як до деяких емпіричних фактів, як до властивостей реальних подій, і вони формулювалися в наочних виставах. Найбільш ранні роботи вчених у галузі теорії ймовірностей відносяться до XVII століття. Досліджуючи прогнозування виграшу в азартних іграх, Блез Паскаль і П'єр Ферма відкрили перші ймовірнісні закономірності, що виникають при киданні костей .

Вважають, що вперше Паскаль зайнявся теорією ймовірностей під впливом питань, поставлених перед ним одним з придворних французького двору Шевальє де Мере (1607-1648), що був азартним гравцем, але гра, теж була для нього приводом для досить глибоких роздумів. Де Мере запропонує Паскалю два знамениті питання, перше з яких він спробував вирішити сам.
Питання були такі^{[джерело не вказано 56 днів]}:

• 1. Скільки разів треба кидати дві гральні кістки, щоб випадків випадання відразу двох шісток було більше половини від загального числа кидань?

• 2. Як справедливо розділити поставлені на кон двома гравцями гроші, якщо вони з якихось причин припинили гру передчасно?

Ці завдання обговорювалися в листуванні Б. Паскаля і П.Ферма (1601-1665) і послужили приводом для початкового введення математичного очікування, і спробів формулювання основних теорем додавання і добутку ймовірностей. Під впливом піднятих і розглянутих ними питань вирішенням тих же завдань займався і Християн Гюйгенс. При цьому з листуванням Паскаля і Ферма він знайомий не був, тому методику рішення винайшов самостійно. Його робота, в якій вводяться основні поняття теорії ймовірностей (поняття ймовірності як величини шансу; математичне сподівання для дискретних випадків, у вигляді ціни шансу), а також використані теореми додавання і множення ймовірностей (не сформульовані явно), вийшла в друкованому вигляді на двадцять років раніше (1657 рік) видання листів Паскаля і Ферма (1679 рік).

Справжню наукову основу теорії ймовірностей заклав великий математик Якоб Бернуллі (1654-1705). Його праця «Мистецтва припущень» став першим грунтовним трактатом з теорії ймовірностей. Він містив загальну теорію перестановок і поєднань. А відкритий ним знаменитий закон великих чисел дав можливість встановити зв'язок між імовірністю-якого випадкового події і частотою його появи, що спостерігається безпосередньо з досвіду.

Важливий внесок в теорію ймовірностей вніс Якоб Бернуллі: він дав доказ закону великих чисел в простому випадку незалежних випробувань. У першій половині XIX століття теорія ймовірностей починає застосовуватися до аналізу помилок спостережень; Лаплас і Пуассон довели перші граничні теореми. У другій половині XIX століття значний внесок внесли російські вчені П. Л. Чебишов, А. А. Марков і О. М. Ляпунов. В цей час були доведені закон великих чисел, центральна гранична теорема, а також розроблена теорія ланцюгів Маркова. Сучасний вигляд теорія ймовірностей отримала завдяки аксіоматизації^{[джерело не вказано 56 днів]}, запропонованої Андрієм Миколайовичем Колмогоровим. У результаті теорія ймовірностей придбала строгий математичний вигляд і остаточно стала сприйматися як один з розділів математики.

Основні положення

Під випробуванням мається на увазі здійснення запланованих дій і отримання результату за виконання певного комплексу умов S. При цьому припускається, що ці умови є фіксованими; вони або об'єктивно існують, або створюються штучно і можуть бути відтворені необмежене число разів.

Прикладами випробування: виготовлення деталі або виробу, кидання монети або грального кубика, розігрування лотереї, проведення аукціону.

Предметом дослідження теорії ймовірності є специфічні закономірності, притаманні результатам масових однорідних (для яких зберігається комплекс умов S) випробувань. При цьому досліджуються випробування, які характеризуються статистичною регулярністю, а наслідки випробувань можуть бути різними.

Результатом випробування є подія. Події поділяються на: правдиві (однозначно відбудуться), неможливі, випадкові, сумісні, несумісні. Позначаються великими латинськими літерами, наприклад, А, B, С.

Основні об'єкти дослідження теорії ймовірностей:

1. випадкова подія та її ймовірність;
2. випадкова величина та її функція розподілу;
3. випадковий процес та його ймовірнісна характеристика.

Теми теорії ймовірностей

Стохастичний експеримент Елементарна подія Простір елементарних подій Дискретний простір елементарних подій

Несумісні події Сумісні події Незалежність подій Ймовірність події Ймовірність

Особливість теорії ймовірностей

• У теорії ймовірностей випадкову змінну вважають відомою.

Ця особливість відрізняє предмет і методи теорії ймовірностей від предмету і методів математичної статистики, де випадкову змінну досліджують після одержання статистичного матеріалу.

Див. також

• Ймовірнісний простір
• Теорема Баєса
• Математична статистика

Джерела

• Колмогоров А.Н. (1974). Основные понятия теории вероятностей (вид. 2). Москва: Наука. с. 119. 
• Гнеденко Б.В. (1988). Курс теории вероятностей (вид. 6). Москва: Наука. с. 446. 

Посилання

• Кафедра теорії ймовірностей, статистики та актуарної математики Київського національного університету імені Тараса Шевченка