Теорія множин Цермело

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорія множин Цермело - теорія множин, що включає в себе 7 аксіом опублікована німецьким математиком Ернстом Цермело у 1908 році. Система аксіом Цермело для теорії множин була створена тому що,в інтуїтивній теорії множин Г.Кантора були виявлені парадокси і аксіоматизация виявилася єдиним виходом з положення. Першу версію системи аксіом теорії множин Цермело опублікував у 1908 році, вона включала 7 аксіом. Пізніше Абрахам Френкель і Торальф Сколе вдосконалили її (розширивши до 10 аксіом).

Аксіоми Теорії множин Цермело[ред.ред. код]

AXIOM I. Аксіома об’ємності (екстенсиональності). Дві множини збігаються (рівні між собою) тоді й лише тоді, коли вони мають одні й ті самі елементи:
:~ \forall x \forall y \ (x = y) \leftrightarrow \forall z \ (z \in x  \leftrightarrow z \in y )

Замість поданого твердження інколи записують, що елементи вважають однаковими, якщо вони належать до одних і тих самих множин. Інакше кажучи, їх неможливо розрізнити за допомогою належності до множин:

:~ \forall x \forall y \ (x = y) \leftrightarrow \forall z \ (x \in z  \leftrightarrow y \in z )
AXIOM II. Аксіома згортання. Для довільної формули A ,що не містить параметра x,
:~ \exist x \forall y \ (y \in x  \leftrightarrow A),

тобто існує множина x, що містить ті й лише ті елементи, для яких справджується формула A.

AXIOM III. Аксіома схеми виділення. Для довільної множини x і властивості (предиката, висловлювання системи Z) P існує множина y, елементами якої є ті й лише ті елементи множини y, які мають властивість P (при яких справджується Р):
:~ \forall x \forall P \exist y \forall z \ (z \in y) \leftrightarrow  (z \in x \land P(z)).

Тут y не входить у запис P.

AXIOM IV. Аксіома булеана. Для довільної множини x існує множина y, елементами якої є ті й лише ті елементи, що є підмножинами x.
:~ \forall x \exist y \forall z \ (z \in y) \leftrightarrow  (\forall t \ (t \in z ) \rightarrow (t \in x) ).

З використанням відношення підмножини \subseteq останню формулу можна спростити:

:~ \forall x \exist y \forall z \ (z \in y) \leftrightarrow (z \subseteq x) ).

Таку множину y називають булеаном множини x та позначають P(x) або 2x.

Для скінченних множин справджується рівність |2x| = 2|x|. Тут |x| — кількість елементів множини x.

AXIOM V. Аксіома об’єднання. Аксіому об’єднання можна сформулювати наступним чином: "З будь-якого сімейства ~ a множин ~ b можна утворити як мінімум одну таку множину ~ d, кожен елемент ~ c якої належить хоча б одній множині ~ b даного сімейства ~ a" :
: ~ \forall a \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ c \in b) \ )
AXIOM VI. Аксіома вибору. Для довільної множини z існує функція w, що вибирає з кожного непорожнього елемента x множини z єдиний елемент w*x:
:~ \forall z \exist w \ (Fnc(w) \land \forall x \ (x \in z \land \lnot x \ = \varnothing \rightarrow w*x \in x )).
AXIOM VII. Аксіома нескінченності. Існує така множина x, що містить порожню множину \varnothing та для довільного належного до неї елемента y включає також і множину, утворену об’єднанням y та{y}:
:~ \exist x \ (\varnothing \in x) \land (\forall y \ (y \in x) \rightarrow \ (y \cup {y} \in x)).

За допомогою раніше означеного предикату Inf цю аксіому можна записати так:

~ \exist x \ Inf(x).

Оригінальна система ZF[ред.ред. код]

Основним задумом Цермело було те, щоб обмежити сферу застосування аксіономатики в системі Z лише такими множинами, розгляд яких не призводить до парадоксів. Першою аксіоматикою такого роду була система Z Цермело (E. Zermelo, 1908). Однак у цій системі неможливо було природним чином формалізувати деякі розділи математики, і А.Френкель (A. Frenkel, 1922) запропонував доповнити систему Z новим принципом, який назвав аксіомою підстановки. Отриману систему назвають системою аксіом Цермело — Френкеля і позначають ZF. Ця система аксіом містить єдине примітивне онтологічне (фундаментальне) поняття — множина, та єдине онтологічне припущення, що всі досліджувані об’єкти є множинами. Запроваджено єдине бінарне відношення приналежності до множини. Отже система аксіом Цермело видозмінювалась і розширювалась з 1907 року по 1930 рік. Доповненням до системи стали такі аксіоми як Аксіома регулярності і Аксіома підстановки Френкеля.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]