Теорія множин Цермело — Френкеля

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорія множин Цермело — Френкеля з аксіомою вибору (позначається ZFC) — найпоширеніша аксіоматична теорія множин, і, через це, найпоширеніша основа математики.

ZFC містить єдине примітивне онтологічне поняття — множина, та єдине онтологічне припущення, що всі об'єкти в досліджуваному просторі (наприклад, всі математичні об'єкти) є множинами.

Вводиться єдине бінарне відношення — приналежність до множини; позначає що множина ~a є елементом множини ~b, та записується як a \in b.

ZFC є теорією першого порядку; в ZFC містяться аксіоми, в яких використовується логіка першого порядку. Ці аксіоми визначають те, в який спосіб поводять себе та взаємодіють множини.

Передумови створення[ред.ред. код]

Аксіоматична теорія множин напрям у математичній логіці, присвячений вивченню фрагментів змістовної теорії множин методами математичної логіки. З цією метою фрагменти теорії множин подають у вигляді аксіоматичної теорії. В основі сучасної теорії множин лежить система аксіом, які приймають без доведення і з яких виводять усі теореми теорії множин. Передумовами створення такої теорії стало відкриття деяких парадоксів (антиномій, суперечностей) так званої «наївної» теорії множин. Серед таких парадоксів найбільш відомими є парадокси Кантора і Рассела.

Першою аксіоматикою такого роду була система Z Цермело (E. Zermelo, 1908). Однак у цій системі неможливо було природним чином формалізувати деякі розділи математики, і А.Френкель (A. Frenkel, 1922) запропонував доповнити систему Z новим принципом, який назвав аксіомою підстановки. Отриману систему назвають системою аксіом Цермело — і позначають ZF. Ця система аксіом містить єдине примітивне онтологічне (фундаментальне) поняття — множина, та єдине онтологічне припущення, що всі досліджувані об’єкти є множинами. Запроваджено єдине бінарне відношення приналежності до множини.

Аксіоми ZFC[ред.ред. код]

Аксіома екстенсіональності (Z1)[ред.ред. код]

Дві множини рівні тоді й тільки тоді, коли вони мають одні й ті ж елементи.

\forall A, \forall B: \; A=B \iff (\forall C: C \in A \iff C \in B)

Аксіома порожньої множини[ред.ред. код]

Існує множина без елементів.

\exist A: \forall B \ \lnot (B \in A)

Таку множину зазвичай позначають як ∅ або {} та називають порожньою множиною.

Аксіома пари (Z2)[ред.ред. код]

Для будь-яких множин A та B існує множина C така, що A та B є її єдиними елементами. Множина C позначається {A, B} і називається невпорядкованою парою A та B.

\forall A, \forall B, \exist C, \forall D: D \in C \iff (D = A \or D = B)

Тобто, якщо A = B, то існує множина C така, що вона складається з одного елемента {A, A} = {A} (який має назву синглетона).

Аксіома булеана (Z4)[ред.ред. код]

Для будь-якої множини А існує множина B, елементами якої є ті й тільки ті елементи що є підмножинами A.

\forall A, \exists B, \forall C: C \in B \iff (\forall D: D \in C \Rightarrow D \in A).

Якщо ввести відношення підмножини \subseteq, то формулу можна спростити:

\forall A, \exists B, \forall C: C \in B \iff C \subseteq A.

Множину B називають булеаном множини A та позначають {\mathcal{P}(A)}.

Аксіома об’єднання (Z5)[ред.ред. код]

Для двох множин існує третя, яка включає в себе всі елементи обох, і тільки їх.

\forall A, \exist B, \forall C: C \in B \iff (\exist D: C \in D \and D \in A)

З аксіоми прямо випливає, що об'єднання множин також є множиною. Множина B називається об'єднанням A, і позначається A.

Аксіома нескінченності (Z7)[ред.ред. код]

Існує така множина A, що включає в себе пусту множину {} та для будь-якого належного їй елемента B включає також і множину, сформовану як об'єднання B та її синґлетону {B}.

\exist A: \varnothing \in A \and (\forall B: B \in A \Rightarrow B \cup \{B\} \in A)

Для того, щоби пояснити цю аксіому, визначимо елемент B ∪ {B} як наступний елемент B (аксіома пари дозволяє нам сформувати синглетон {B}, а аксіома об'єднання дозволяє провести операцію ∪). Наступний елемент використовується, зокрема, для побудови теорії натуральних чисел за допомогою множин. В такій побудові нулю відповідає порожня множина (0 = {}), одиниця - наступний елемент за 0:

1 = 0 ∪ {0} = {} ∪ {{}} = {{}} = {0}.

Аналогічно, 2 - наступний елемент за 1.

2 = 1 ∪ {1} = {0} ∪ {1} = {{},{{}}} = {0,1}, і т.д.

Тобто, в такій побудові кожне натуральне число дорівнює множині всіх попередніх натуральних чисел. Без цієї аксіоми така побудова була б неможливою.

Схема специфікації (аксіома виділення) (Z3)[ред.ред. код]

Для будь-якої множини А і властивості P існує множина B, елементами якої є ті й тільки ті елементи множини А, які маю властивість P.

\forall A, \exist B, \forall C: C \in B \iff C \in A \and P(C)

Для кожної такої властивості P (предиката, що не використовує символ B), існує окрема аксіома виділення. Тому комплект таких аксіом називають схемою.

Схема перетворення (аксіома підстановки) (ZF)[ред.ред. код]

Нехай А - множина, і P(x,y) - предикат. Тоді якщо для кожного x існує єдиний y, такий що P(x,y) істинний, тоді існує множина всіх y, для яких знайдеться такий x ∈ A, що P(x,y) істинний.

(\forall x, \exist!\, y: P(x, y)) \rightarrow \forall A, \exist B, \forall y: y \in B \iff \exist x \in A : P(x, y)

Аксіома регулярності (ZF)[ред.ред. код]

В будь-якій непорожній множині А є елемент B, що перетин А та B є порожньою множиною.

\forall A (\exists B (B \in A) \rightarrow \exists B (B \in A \land \lnot \exist C (C \in A \land C \in B))).

Якщо ввести операцію перетину множин \cap \!, то формулу можна спростити:

\forall A (A \neq \varnothing \rightarrow \exists B (B \in A \wedge B \cap A = \varnothing))

Аксіома вибору (Z6)[ред.ред. код]

Для довільного сімейства непорожніх множин, що не перетинаються, існує множина, яка має рівно один спільний елемент з кожною множиною даного сімейства, навіть якщо множин у сімействі нескінченно багато і невизначено правило вибору елемента з кожної множини.

Надлишковість[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]