Теорія операторів

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорія операторів — розділ функціонального аналізу, який вивчає властивості неперервних лінійних відображень між нормованими просторами. Взагалі кажучи, оператор — це аналог звичайної функції або матриці в скінченновимірному просторі. Але оператор може діяти і в нескінченновимірних просторах.

Відображення T з векторного простору X у векторний простір Y називається лінійним оператором, якщо T(\alpha x +\beta y)=\alpha T(x) + \beta T(y) для будь-яких x і y із X і будь-яких скалярів \alpha і \beta . Часто пишуть Tx замість T(x). Лінійний оператор з нормованого простору X в нормований простір Y називається обмеженим, якщо знайдеться додатне дійсне число M таке, що для всіх x\in X \|Tx\|\le M\|x\|. Найменша така константа M, яка задовольняє цій умові, називається нормою оператора T і позначається \|T\|. Неважко бачити, що лінійний оператор між нормованими просторами обмежений тоді і тільки тоді, коли він неперервний. Під терміном «оператор» у функціональному аналізі зазвичай розуміють обмежений лінійний оператор.

Множина всіх (обмежених лінійних) операторів із нормованого простору X в нормований простір Y позначається L(X,Y). У випадку, коли X = Y пишуть L(X) замість L(X,X). Якщо HГільбертів простір, то зазвичай пишуть B(H) замість L(H). На L(X,Y) можна ввести структуту векторного простору через (T + S) x = Tx + Sx і T(\alpha x)= \alpha (Tx), де T,S\in L(X,Y), а \alpha — довільний скаляр. З введеною вище операторною нормою, L(X,Y) перетворюється на нормований простір.

Зокрема, \|S+T\| \le \|S\|+\|T\| і \| \alpha T\|=|\alpha|\cdot \|T\| для будь-яких T,S\in L(X,Y) і довільного скаляра \alpha . Простір L(X,Y) є Банаховим тоді і тільки тоді, коли Y — Банахів.

Нехай X, Y і Z — нормовані простори, T\in L(X,Y) і S\in L(X,Y). Композиція S і T позначається TS і називається «добутком» операторів S та T. Відмітимо, що TS\in L(X,Z) і \|TS\| \le \|T\|\cdot \|S\|. Якщо XБанахів простір, то L(X) з введеним вище множенням є Банаховою алгеброю.

У «теорії операторів» можна виділити декілька основних розділів:

  1. Спектральна теорія вивчає спектр оператора.
  2. Класи операторів. Зокрема, компактні оператори, Фредгольмові оператори, ізоморфізми, ізометрії, строго сингулярні оператори тощо. Вивчають також необмежені оператори і частково визначені оператори, зокрема замкнуті оператори.
  3. Оператори на спеціальних нормованих просторах.
    • На Гільбертових просторах вивчають самоспряжені, нормальні, унітарні, додатні оператори та ін.
    • На функціональних просторах: диференціальні, псевдодиференціальні, інтегральні, і псевдоінтегральні оператори; оператори множення, підстановки, підстановки з вагою та ін.
    • На Банахових решітках: додатні оператори, регулярні оператори тощо.
  4. Сукупності операторів (тобто, підмножини L(X)): операторна алгебра, операторні напівгрупи та ін.
  5. Теорія інваріантних підпросторів.