Теорія функції комплексної змінної

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Графік функції f(x)=(x²-1)(x-2-i)²/(x²+2+2i). Аргумент відображує тон зображення, а величину функції насиченість малюнка.

Тео́рія фу́нкції компле́ксної змі́нної (ТФКЗ), або компле́ксний аналі́з — розділ математики, що вивчає функції, які залежать від комплексної змінної. Використовується у багатьох розділах математики, зкорема у теорії чисел, прикладній математиці та фізиці. Поєднує у собі математичний аналіз функцій дійсних змінних, диференціальні рівняння і багато інших розділів математики.

Головною задачею ТФКЗ є вивчення аналітичних функцій, які залежать від комплексної змінної (або мероморфні функції). Оскількі дійсна та уявна частина будь-якої аналітичної функції повинна підкорюватися рівнянню Лапласа, комплексний аналіз має широке застосування у поверхневих задачах фізики.

[ред.] Історія

Множина Мандельброта.

Комплексний аналіз, як класичний розділ математики, почав зароджуватися у середині 19 сторіччя. Його розвиток пов'язуний з іменами Ейлера, Ґаусса, Рімана, Коші, Вейєрштрасса та багатьох інших математиків. Прийнято вважати, що ТФКЗ є частиною теорії конформного відображення, і має багато застосувань у фізиці та аналітичній теорії чисел. У сучасності особливого розвитку отримала комплексна динаміка та зображення фракталів, які є результатом інтегрування голоморфних функцій, найвідомішим з яких є множина Мандельброта. Інші важливі сучасні застосування ТФКЗ зустрічаються у теорії струн та квантовії теорії поля.

[ред.] Комплексна функція

Комплексною називається функція, у якій аргумент та залежна змінна є комплексними числами. Або точніше, комплексна функція — це функція, область визначення якої D є підмножиною комплексної площини, і область значень функції E також підмножина комплексної площини.

Для будь-якої комплексної функції, аргумент та залежна змінна повинні мати дійсну та уявну частини:

$z = x + iy\,$ та

$f(z) = U(x,y) + iV(x,y)\,$

де $x,y \in \mathbb{R}\,$ та $U(x,y), V(x,y)\,$ — це функції, визначені на множині дійсних чисел.

Іншими словами, компоненти функції f(z),

$U = V(x,y)\,$ та

$V = V(x,y),\,$

можуть бути представленими як функції, визначені у множини дійсних чисел, але залежні від двох змінних х та у.

Таким чином, на комплексній множині можна використовувати звичайні дійсні функції: тригонометричні та обернені їм, гіперболічні, логарифмічні і т.д. Окрім цього ці функції можна розповсюдити на комплесну множину і обчислювати їх значення для комплесних чисел.