Тесеракт

Тесеракт
Тип	правильний чотиривимірний політоп
Символ Шлефлі	{4,3,3}
Комірок	8
Граней	24
Ребер	32
Вершин	16
Вершинна фігура	Правильний тетраедр

Анімована проєкція тесеракта

Тесеракт (від грец. Τέσσερες ἀκτῖνες — «чотири промені») — чотиривимірний гіперкуб — аналог куба в чотиривимірному просторі.

Зображення є проєкцією (перспективою) чотиривимірного куба на тривимірний простір.

Згідно з Оксфордським словником, слово «tesseract» було придумано і почало використовуватися в 1888 році Чарльзом Говардом Гінтоном (1853—1907) в його книзі «Нова ера думки».

Геометрія

Звичайний тесеракт в Евклідовому чотиривимірному просторі визначається як опукла оболонка точок (± 1, ± 1, ± 1, ± 1). Інакше кажучи, він може бути представлений у наступному вигляді:

$[-1,1]^{4}\equiv \{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\,:\,-1\leq x_{i}\leq 1\}.$

Тесеракт обмежений вісьмома гіперплощинами $x_{i}=\pm 1,\;i=1,2,3,4$, перетин яких із самим тесерактом задає його тривимірні грані (є звичайними кубами). Кожна пара непаралельних тривимірних граней перетинається, утворюючи двовимірні межі (квадрати), і так далі. Остаточно, тесеракт володіє 8 тривимірними гранями, 24 двовимірними, 32 ребрами і 16 вершинами.

Чотиривимірний гіпероб'єм тесеракта зі стороною завдовжки a розраховується за формулою:
$V_{3}({\text{hypersurface}})=8a^{3}$

Радіус описаної гіперсфери:
$R=a$

Радіус вписаної гіперсфери:
$r={\frac {a}{2}}$

Розгортка тесеракта

Аналогічно тому, як поверхню куба можна розгорнути у двовимірний багатокутник, що складається з шести квадратів, поверхню тесеракта можна розгорнути у тривимірне тіло, що складається з восьми кубів.

Розгортання поверхні тесеракта у тривимірний простір

Існує 261 розгортка тесеракта. Розгортки гіперкуба можуть бути знайдені перерахуванням «здвоєних дерев», де «здвоєне дерево» (paired tree) — це дерево з парним числом вершин, які розбиті на пари так, що жодна пара не складається з двох суміжних вершин. Між «здвоєними деревами» з 8 вершинами і розгортками тесеракту існує взаємно однозначна відповідність. Всього існує 23 дерева з 8 вершинами, при розбитті вершин яких на пари несуміжних вершин виходить 261 «здвоєне дерево» з 8 вершинами.

У оповіданні Роберта Гайнлайна «Дім, який побудував Тіл» каліфорнійський архітектор Квінтус Тіл будує дім у формі розгортки гіперкуба, який під час землетрусу складається в чотиривимірний тесеракт.

Популярний опис

Спробуємо уявити собі, як буде виглядати гіперкуб, не виходячи з тривимірного простору.

В одновимірному «просторі» — на лінії — виділимо відрізок АВ довжиною L. На двовимірній площині на відстані L від АВ намалюємо паралельний йому відрізок DC і з'єднаємо їх кінці. Вийде квадрат CDBA. Повторивши цю операцію з площиною, отримаємо тривимірний куб CDBAGHFE. А зсунувши куб в четвертому вимірі (перпендикулярно першим трьом) на відстань L, ми отримаємо гіперкуб CDBAGHFEKLJIOPNM.

Побудова тесеракта на площині

Розгортка тесеракта

Одновимірний відрізок АВ служить стороною двовимірного квадрата CDBA, квадрат — стороною куба CDBAGHFE, який, в свою чергу, буде стороною чотиривимірного гіперкуба. Відрізок прямої має дві граничні точки, квадрат — чотири вершини, куб — вісім. В чотиривимірному гіперкубі, таким чином, виявиться 16 вершин: 8 вершин вихідного куба і 8 зрушеного в четвертому вимірі. Він має 32 ребра — по 12 дають початкове і кінцеве положення вихідного куба, і ще 8 ребер «намалюють» вісім його вершин, що перемістилися в четвертий вимір. Ті ж міркування можна виконати і для граней гіперкуба. У двовимірному просторі вона одна (сам квадрат), у куба їх 6 (по дві грані від переміщення квадрата і ще чотири опишуть його збоку). Чотиривимірний гіперкуб має 24 квадратні грані — 12 квадратів вихідного куба в двох положеннях і 12 квадратів від дванадцяти його ребер.

Як сторонами квадрата є 4 одновимірних відрізки, а сторонами (гранями) куба є 6 двомірних квадратів, так і для «чотиривимірного куба» сторонами є 8 тривимірних кубів. Простору протилежних пар кубів тесеракт (тобто тривимірні простори, яким ці куби належать) паралельні. На малюнку це куби: CDBAGHFE і KLJIOPNM, CDBAKLJI і GHFEOPNM, EFBAMNJI і GHDCOPLK, CKIAGOME і DLJBHPNF.

Аналогічним чином можна продовжити міркування для гіперкубів більшого числа вимірів, але набагато цікавіше подивитися, як для нас, жителів тривимірного простору, буде виглядати чотиривимірний гіперкуб. Скористаємося для цього вже знайомим шляхом аналогій.

Візьмемо дротяний куб ABCDHEFG і подивимося на нього одним оком з боку межі. Ми побачимо і можемо намалювати на площині два квадрата (ближню і дальню його межі), з'єднані чотирма лініями — бічними ребрами. Аналогічним чином чотиривимірний гіперкуб у просторі трьох вимірів буде виглядати як два кубічних «ящики», вставлених один в одного і з'єднаних вісьмома ребрами. При цьому самі «ящики» — тривимірні грані — будуть проєктуватися на «наш» простір, а лінії, які їх з'єднують, простягнуться в напрямку четвертої осі. Можна спробувати також уявити собі куб не в проєкції, а в просторовому зображенні.

Подібно до того, як тривимірний куб утворюється квадратом, зсунутим на довжину грані, куб, зрушений у четвертий вимір, сформує гіперкуб. Його обмежують вісім кубів, які в перспективі будуть виглядати як якась досить складна фігура. Сам же чотиривимірний гіперкуб складається з нескінченної кількості кубів, подібно до того як тривимірний куб можна «нарізати» на нескінченну кількість плоских квадратів.

Розрізавши шість граней тривимірного куба, можна розкласти його в плоску фігуру — розгортку. Вона буде мати по квадрату з кожного боку вихідної межі плюс ще один — грань, їй протилежну. А тривимірна розгортка чотиривимірного гіперкуба буде складатися з вихідного куба, шести кубів, «що виростають» із нього, плюс ще одного — кінцевої «гіперграні».

Властивості тесеракта представляють собою продовження властивостей геометричних фігур меншої розмірності в чотиривимірний простір.

Проєкції

На двовимірний простір

Дана структура складна для уяви, але можливо спроєктувати тесеракт у двовимірному або тривимірному просторі. Крім того, проєктування на площину дозволяє легко зрозуміти розташування вершин гіперкуба. Таким чином, можна отримати зображення, які більше не відображають просторових відношень у межах тесеракта, але які ілюструють структуру зв'язків вершин, як у попередніх прикладах:

Показує як отримати тесеракт в результаті комбінування двох кубів

Ілюструє той факт, що всі ребра тесеракта мають однакову довжину.Вона примітна тим, що всі вісім кубів мають однаковий вигляд.

Демонструє тесеракт в ізометрії, щодо точки побудови. Це зображення потрібне при використанні тесеракта як підстави для топологічної мережі, щоб зв'язати багаторазові процесори в паралельних обчисленнях.

На тривимірний простір

Одна з проєкцій тесеракта на тривимірний простір являє собою два вкладених тривимірних куба, відповідні вершини яких з'єднані між собою відрізками. Внутрішній і зовнішній куб мають різні розміри в тривимірному просторі, але в чотиривимірному просторі це рівні куби. Для розуміння рівності всіх кубів тесеракта була створена модель тесеракта що обертається. Шість зрізаних пірамід по краях тесеракта — це зображення рівних шести кубів. Однак ці куби для тесеракта — як квадрати (межі) для куба. Але насправді тесеракт можна розділити на нескінченну кількість кубів, як куб — на нескінченну кількість квадратів, або квадрат — на нескінченне число відрізків. Ще одна цікава проєкція тесеракта на тривимірний простір являє собою ромбододекаедра з проведеними чотирма його діагоналями, що з'єднують пари протилежних вершин при великих кутах ромбів. При цьому 14 з 16 вершин тесеракта проєктуються в 14 вершин ромбододекаедра, а проєкції інших 2, що залишилися, збігаються в його центрі. У такій проєкції на тривимірний простір зберігаються рівність і паралельність всіх одновимірних, двовимірних і тривимірних сторін.

Стереопара

Стереопара тесеракта зображується як дві проєкції на площину одного з варіантів тривимірного уявлення тесеракта. Стереопара розглядається так, щоб кожне око бачило тільки одне з цих зображень, виникає стереоскопічний ефект, що дозволяє краще сприйняти проєкцію тесеракта на тривимірний простір.

Інші назви

• Гексадекахорон (Hexadecachoron)
• Октохорон (Octachoron) (від грец. οκτώ —"вісім", а грец. χώρος —"місце/простір")
• Тетракуб (Tetracub)
• 4-Куб (4-Cube)
• Гіперкуб (про будь-який аналог куба з більш ніж трьома розмірностями)

Тесеракт у культурі

• Іспанський художник Сальвадор Далі зобразив розгортку тесеракта на своїй картині Розп'яття або Гіперкубічне тіло.
• TesseracT — назва британського гурту, що грає у стилі прогресивного металу.
• З'являється у фільмі Крістофера Нолана «Інтерстеллар» як частина «кротовини» (місту Розена-Ейштейна).

Див. також

• Пентеракт

Література

• Людина, яка «бачила» четвертий вимір // Гіперпростір / Мічіо Кайку ; Пер. з англійської Анжела Кам’янець / Наук. ред. Іван Вакарчук. — Львів : Літопис, 2019. — С. 75-100.
• Charles H. Hinton. Fourth Dimension, 1904. ISBN 0-405-07953-2
• Ian Stewart, Concepts of Modern Mathematics, 1995. ISBN 0-486-28424-7
• Tesseract