Тетрація

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Тетрація (супер-степінь, гіпер-4) — ітераційна операція піднесення до степеня; гіпероператор наступний після піднесення до степеня. Застосовується для опису великих чисел.

Термін тетрація, складається зі слів тетра- (чотири) та ітерація, був вперше застосований английським математиком Рубеном Гудштейном в 1947 році

Тетрація як гіпероператор 4[ред.ред. код]

\lim_{n\rightarrow \infty} x^{\frac{n}{}} Нескінченне піднесення до степеня

Тетрація є четвертою по рахунку гіпероперацією.

  1. додавання:
    a + n = a + \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_n
  2. множення:
    a \times n = \underbrace{a + a + \cdots + a}_n
  3. піднесення до степеня:
    a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_n
  4. тетрація:
    {^{n}a} = \underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}_n

Кожна наступна операція представлена як ітерація попередньої.

Властивості[ред.ред. код]

 ^{4}2 = 2^{\Big(2^{\left(2^2\right)}\Big)} \ne \left({\left(2^2\right)}^2\right)^2 = 2^{2 \cdot 2 \cdot2}

Термінологія[ред.ред. код]

Термін
a^{a^{\cdot^{\cdot^{a^a}}}} Тетрація
a^{a^{\cdot^{\cdot^{a^x}}}} Ітерактивна експонента
a_1^{a_2^{\cdot^{\cdot^{a_n}}}} Вложена експонента (вежа)
a_1^{a_2^{a_3^{\cdot^{\cdot^\cdot}}}} Нескінченна експонента (вежа)

Позначення[ред.ред. код]

Система Позначення Пояснення
Стандартний запис \,{}^{n}a
Ітеративна експонента \exp_a^n(1)
Гіпероператор a^{(4)}n, \, \operatorname{hyper}_4(a,n)
Позначення Кнута ~a {\uparrow\uparrow} n стрілка Кнута
Позначення Конвея ~a \rightarrow n \rightarrow 2 ланцюжок Конвея
Функція Акермана ^{n}2 = \operatorname{A}(4, n - 3) + 3 тільки для випадку a = 2
ASCII запис a^^n варіант стрілки Кнута

Границя[ред.ред. код]

Тетрацію при показникові прямуючому до нескінченності обчислюють як границю.

Наприклад, границя \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}} рівна 2.

Це можна узагальнити аж на комплексні числа:

{}^{\infty}z = z^{z^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}} = \frac{\mathrm{W}(-\ln{z})}{-\ln{z}}

де W(z) — W-функція Лабмерта.

Обернені функції[ред.ред. код]

Оберненими функціями до тетрації є супер-корінь та супер-логарифм. Квадратний супер-корінь ~\mathrm{ssrt}(x) є оберненою функцією до x^x :

\mathrm{ssqrt}(x)=e^{W(\mathrm{ln}(x))}=\frac{\mathrm{ln}(x)}{W(\mathrm{ln}(x))}

Для натуральних чисел n > 2, функція nx визначена та зростаюча при x ≥ 1, тому n-тий супер-корінь існує при x ≥ 1.


Тетрація xa неперервно зростає по x, тому супер-логарифм визначений для всіх дійсних x при a > 1.

~\mathrm{slog}_a {^x a} = x
~\mathrm{slog}_a a^x = 1 + \mathrm{slog}_a x
~\mathrm{slog}_a x = 1 + \mathrm{slog}_a \log_a x
~\mathrm{slog}_a x > -2


Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]