Тетрація

Тетрація (супер-степінь, гіпер-4) — ітераційна операція піднесення до степеня; гіпероператор наступний після піднесення до степеня. Застосовується для опису великих чисел.

Термін тетрація, складається зі слів тетра- (чотири) та ітерація, був вперше застосований английським математиком Рубеном Гудштейном в 1947 році

Тетрація як гіпероператор 4

$\lim_{n\rightarrow \infty} x^{\frac{n}{}}$ Нескінченне піднесення до степеня

Тетрація є четвертою по рахунку гіпероперацією.

1. додавання:

   $a + n = a + \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_n$

2. множення:

   $a \times n = \underbrace{a + a + \cdots + a}_n$

3. піднесення до степеня:

   $a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_n$

4. тетрація:

   ${^{n}a} = \underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}_n$

Кожна наступна операція представлена як ітерація попередньої.

Властивості

• На відміну від попередніх трьох гіпероперацій, тетрація не має аналітичного продовження на комплексні числа.
• Тетрація не вважається елементарною функцією.
• Тетрація некомутативна, як і піднесення до степеня, тому також має дві обернених операції — супер-корінь та супер-логарифм.
• Тетрація неасоціативна:

$^{4}2 = 2^{\Big(2^{\left(2^2\right)}\Big)} \ne \left({\left(2^2\right)}^2\right)^2 = 2^{2 \cdot 2 \cdot2}$

Термінологія

	Термін
$a^{a^{\cdot^{\cdot^{a^a}}}}$	Тетрація
$a^{a^{\cdot^{\cdot^{a^x}}}}$	Ітерактивна експонента
$a_1^{a_2^{\cdot^{\cdot^{a_n}}}}$	Вложена експонента (вежа)
$a_1^{a_2^{a_3^{\cdot^{\cdot^\cdot}}}}$	Нескінченна експонента (вежа)

Позначення

Система	Позначення	Пояснення
Стандартний запис	$\,{}^{n}a$
Ітеративна експонента	$\exp_a^n(1)$
Гіпероператор	$a^{(4)}n, \, \operatorname{hyper}_4(a,n)$
Позначення Кнута	$~a {\uparrow\uparrow} n$	стрілка Кнута
Позначення Конвея	$~a \rightarrow n \rightarrow 2$	ланцюжок Конвея
Функція Акермана	$^{n}2 = \operatorname{A}(4, n - 3) + 3$	тільки для випадку a = 2
ASCII запис	a^^n	варіант стрілки Кнута

Границя

Тетрацію при показникові прямуючому до нескінченності обчислюють як границю.

Наприклад, границя $\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}$ рівна 2.

Це можна узагальнити аж на комплексні числа:

${}^{\infty}z = z^{z^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}} = \frac{\mathrm{W}(-\ln{z})}{-\ln{z}}$

де W(z) — W-функція Лабмерта.

Обернені функції

Оберненими функціями до тетрації є супер-корінь та супер-логарифм. Квадратний супер-корінь $~\mathrm{ssrt}(x)$ є оберненою функцією до $x^x$ :

$\mathrm{ssqrt}(x)=e^{W(\mathrm{ln}(x))}=\frac{\mathrm{ln}(x)}{W(\mathrm{ln}(x))}$

Для натуральних чисел n > 2, функція ⁿx визначена та зростаюча при x ≥ 1, тому n-тий супер-корінь існує при x ≥ 1.

Тетрація ^xa неперервно зростає по x, тому супер-логарифм визначений для всіх дійсних x при a > 1.

$~\mathrm{slog}_a {^x a} = x$

$~\mathrm{slog}_a a^x = 1 + \mathrm{slog}_a x$

$~\mathrm{slog}_a x = 1 + \mathrm{slog}_a \log_a x$

$~\mathrm{slog}_a x > -2$

Див. також

• Теорема Гудштейна

Посилання

• Home of Tetration