Тонка структура

Тонка структура — поняття в атомній фізиці описує разщеплення спектральних ліній атомів.

Макроскопічна структура спектральних ліній - це число ліній та їх розположення. Вона визначається різницею в енергетичних рівнях різних атомних орбіталей. Проте при більш детальних дослідженнях кожна лінія проявляє свою детальну структуру. Ця структура пояснюється малою взаємодією, яка трохи зсуває та розщеплює енергетичні рівні. Їх можна аналізувати методами теорії збурень. Тонка структура атому водню насправді являє собою дві незалежні поправки до борівських енергій: одна - через релятивістський рух електрону, а друга - через зв'язок спін-орбіта.

Релятивістські поправки

В класичній теорії кінетичний член гамільтоніану:

$T=\frac{p^{2}}{2m}$

Проте, враховуючи СТВ, ми повинні використовувати релятивістський вираз для кінетичної енергії,

$T=\sqrt{p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}-mc^{2}$

де перший член - це загальна релятивістська поправка, а другий член - це енергія спокою електрона. Разкладаючи цей вираз в ряд, отримуємо

$T=\frac{p^{2}}{2m}-\frac{p^{4}}{8m^{3}c^{2}}+\dots$

Тоді поправка першого порядку до гамільтоніану рівна

$H'=-\frac{p^{4}}{8m^{3}c^{2}}$

Використовуючи це як збурення, ми можемо обчислити релятивістські попраки першого порядку

$E_{n}^{(1)}=\langle\psi^{0}\vert H'\vert\psi^{0}\rangle=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{0}\vert p^{4}\vert\psi^{0}\rangle=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{0}\vert p^{2}p^{2}\vert\psi^{0}\rangle$

де $\psi^{0}$ - незбурена хвильова функція. Згадуючи незбурений гамільтоніан, ми можемо отримати

$H^{0}\vert\psi^{0}\rangle=E_{n}\vert\psi^{0}\rangle$

$\left(\frac{p^{2}}{2m}-V\right)\vert\psi^{0}\rangle=E_{n}\vert\psi^{0}\rangle$

$p^{2}\vert\psi^{0}\rangle=2m(E_{n}-V)\vert\psi^{0}\rangle$

Далі ми можемо використати цей результат для обчислення релятивістської поправки:

$E_{n}^{(1)}=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{0}\vert p^{2}p^{2}\vert\psi^{0}\rangle$

$E_{n}^{(1)}=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{0}\vert (2m)^{2}(E_{n}-V)^{2}\vert\psi^{0}\rangle$

$E_{n}^{(1)}=-\frac{1}{2mc^{2}}(E_{n}^{2}-2E_{n}\langle V\rangle +\langle V^{2}\rangle )$

Для атому водню, $V=\frac{e^{2}}{r}$, $\langle V\rangle=\frac{e^{2}}{a_{0}n^{2}}$ та $\langle V^{2}\rangle=\frac{e^{4}}{(l+1/2)n^{3}a_{0}^{2}}$, де $a_{0}$ - борівський радіус, $n$ - головне квантове число та $l$ - орбітальне квантове число. Звідси випливає релятивістська поправка для атому водню:

$E_{n}^{(1)}=-\frac{1}{2mc^{2}}\left(E_{n}^{2}-2E_{n}\frac{e^{2}}{a_{0}n^{2}} +\frac{e^{4}}{(l+1/2)n^{3}a_{0}^{2}}\right)=-\frac{E_{n}^{2}}{2mc^{2}}\left(\frac{4n}{l+1/2}-3\right)$

Зв'язок спін-орбіта

Поправка спін-орбіта появляється, коли ми із стандартної системи відліку (де електрон облітає навколо ядра по еліптичній орбіті) переходимо в систему, де електрон покоїться, а ядро облітає навколо нього. В цьому випадку ядро, що рухається являє собою ефективну петлю із струмом, яка в свою чергу створює магнітне поле. Проте електрон сам по собі має магнітний момент через спін. Два магнітних вектори, $\vec B$ и $\vec\mu_s$ зчіплюються разом так, що появляється певна енергія, яка залежить від їх відносної орієнтації. Так появляється енергетична поправка типу:

$\Delta E_{SO} = \xi (r)\vec L \cdot \vec S$

Література

• Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). — Prentice Hall, 2004. ISBN 0-13-805326-X.
• Liboff, Richard L. Introductory Quantum Mechanics. — Addison-Wesley, 2002. ISBN 0-8053-8714-5.

Посилання

• Hyperphysics: Fine Structure