Топологія Зариського

Тополо́гія Зари́ського в алгебричній геометрії — спеціальна топологія, що відображає алгебричну природу, алгебричних многовидів. Названа на честь Оскара Зариського.

Топологія Зариського в класичній алгебричній геометрії

Афінний простір

В класичній алгебричній геометрії топологія Зариського — топологія в афінному просторі $k^n$ над алгебрично замкнутим полем $k$, замкнутими множинами якої є алгебричні множини, тобто множини виду:

$V(S) = \{x \in \mathbb{A}^n \mid f(x) = 0, \forall f \in S\}$

де S — множина многочленів з n змінними над полем k.

Проективний простір

n-вимірний проективний простір $\mathbb{P}^n$ визначається як множина $\mathbb{A}^{n + 1}$ де точки, що відрізняються множенням на елементи з k ідентифікуються. Якщо S — множина однорідних многочленів, то замкнутими множинами топології Зариського є множини виду:

$V(S) = \{x \in \mathbb{P}^n \mid f(x) = 0, \forall f \in S\}.$

Топологія Зариського для спектра кілець

Нехай $A$ — комутативне кільце, і $\mathrm{Spec}\,A$ — спектр цього кільця, тобто множина простих ідеалів $A$. Тоді топологією Зариського називається топологія замкнутими множинами якої є:

$\{\mathfrak p\in\mathrm{Spec}\,A\mid\mathfrak p\supseteq I\}$

для ідеалів $I\subseteq A$.

Посилання

• Ю.Дрозд. Алгебрична геометрія і її застосування.Курс лекцій

Література

• Атья М., Макдональд И. (1972). Введение в коммутативную алгебру. Москва: Мир. с. 160. 
• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.
• Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. — М.: Наука, 1972.