Тотожність Брамагупти

Тотожність Брамагупти — алгебраїчна тотожність, що стверджує: добуток суми двох квадратів на іншу суму двох квадратів також буде сумою двох квадратів:

$\begin{align} \left(a^2 + b^2\right)\left(c^2 + d^2\right) & {}= \left(ac-bd\right)^2 + \left(ad+bc\right)^2 \ \qquad\qquad(1) \\ & {}= \left(ac+bd\right)^2 + \left(ad-bc\right)^2.\qquad\qquad(2) \end{align}$

Була відкрита індійським математиком Брамагуптою в 7 столітті.

Зв’язок з комплексними числами

Використавши, що добуток модулів комплексних чисел дорівнює модулю добутку:

$| a+bi | | c+di | = | (a+bi)(c+di) | \,$

піднісши обидві частини до квадрату

$| a+bi |^2 | c+di |^2 = | (ac-bd)+i(ad+bc) |^2,\,$

та обчисливши, отримаємо:

$(a^2+b^2)(c^2+d^2)= (ac-bd)^2+(ad+bc)^2. \,$

Див. також

• Рівняння Пелля
• Тотожність чотирьох квадратів
• Процедура Келі-Діксона

Посилання

• Brahmagupta's identity at PlanetMath
• Brahmagupta Identity on MathWorld