Тотожність восьми квадратів

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Тотожність восьми квадратівалгебраїчна тотожність, що стверджує: добуток суми вісьми квадратів на іншу суму вісьми квадратів також буде сумою вісьми квадратів:

\ (a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2+a_6^2+a_7^2+a_8^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2+b_5^2+b_6^2+b_7^2+b_8^2)=\,
\ (a_1b_1 - a_2b_2 - a_3b_3 - a_4b_4 - a_5b_5 - a_6b_6 - a_7b_7 - a_8b_8)^2+
\ (a_1b_2 + a_2b_1 + a_3b_4 - a_4b_3 + a_5b_6 - a_6b_5 - a_7b_8 + a_8b_7)^2+
\ (a_1b_3 - a_2b_4 + a_3b_1 + a_4b_2 + a_5b_7 + a_6b_8 - a_7b_5 - a_8b_6)^2+
\ (a_1b_4 + a_2b_3 - a_3b_2 + a_4b_1 + a_5b_8 - a_6b_7 + a_7b_6 - a_8b_5)^2+
\ (a_1b_5 - a_2b_6 - a_3b_7 - a_4b_8 + a_5b_1 + a_6b_2 + a_7b_3 + a_8b_4)^2+
\ (a_1b_6 + a_2b_5 - a_3b_8 + a_4b_7 - a_5b_2 + a_6b_1 - a_7b_4 + a_8b_3)^2+
\ (a_1b_7 + a_2b_8 + a_3b_5 - a_4b_6 - a_5b_3 + a_6b_4 + a_7b_1 - a_8b_2)^2+
\ (a_1b_8 - a_2b_7 + a_3b_6 + a_4b_5 - a_5b_4 - a_6b_3 + a_7b_2 + a_8b_1)^2.

Відкрита Ferdinand Degen {dansk} в 1818 році, була незалежно перевідкрита Джоном Грейвзом (1843) та Артуром Келі (1845). Останні двоє відкрили її під час праці над розширенням кватерніонів до октоніонів. В нормованій алгебрі з діленням, це означає,добуток модулів двох октоніонів дорівнює модулю їх добутку.

\ |ab|= |a||b| .

В 1898 році Адольф Гурвіц довів, що подібні тотожності можливі тільки для 1,2,4 та 8 квадратів. Див. Теорема Гурвіца про композитні алгебри.

Кожен квадрант тотожностівосьми квадратів є тотожністю чотирьох квадратів:

\ (a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2)=
\ (a_1b_1 - a_2b_2 - a_3b_3 - a_4b_4)^2+
\ (a_1b_2 + a_2b_1 + a_3b_4 - a_4b_3)^2+
\ (a_1b_3 - a_2b_4 + a_3b_1 + a_4b_2)^2+
\ (a_1b_4 + a_2b_3 - a_3b_2 + a_4b_1)^2

та,

\ (a_5^2+a_6^2+a_7^2+a_8^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2)=
\ (a_5b_1 + a_6b_2 + a_7b_3 + a_8b_4)^2+
\ (a_5b_2 - a_6b_1 + a_7b_4 - a_8b_3)^2+
\ (a_5b_3 - a_6b_4 - a_7b_1 + a_8b_2)^2+
\ (a_5b_4 + a_6b_3 - a_7b_2 - a_8b_1)^2

і т.д.

Дивись також[ред.ред. код]