Трактриса

Загальний вид графіка

Трактриса (або лінія потягу) — (від лат. trahere — тягнути) плоска трансцендентна крива, для якої довжина відрізка дотичної від точки дотику до точки перетину з фіксованою прямою є постійною величиною.

Таку лінію описує предмет, що тягнеться на мотузкі довжини а за точкою, що рухається по осі абсцис. Трактриса також є частиною кривої погоні при однакових швидкостях «утікача» і «переслідувача».

Рівняння

Параметричний опис:

$x = \pm\ a \cdot \left(\ln {\operatorname{tg} {\frac{t}{2}}} + \cos t \right)~$

$y = a \cdot \sin t~$

Рівняння в декартових координатах:

$x = \pm\ \left(a \ln {{a + \sqrt{a^2-y^2}} \over y}+\sqrt{a^2-y^2}\right)$, при $y \in (0,a)~$

Властивості

Площа, обмежена трактрісою і її асимптотою:

$S = {{\pi a^2} \over 2} ~$

Довжина дуги, від точки ( 0 ; а ) до довільної точки трактріси:

$s_l = -a \ln \sin t ~$

Радіус кривини:

$R = a \; \operatorname{ctg} \; t$

Еволюта (лінія, що огинає нормалі):

$y(x)=a ~ \operatorname{ch}(x/a)$ (ланцюгова лінія)

Поверхня обертання трактріси навколо своєї асимптоти (осі x), є псевдосферою.