Трансфінітне число

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Трансфінітне число - це числа, які є "нескінченними" в тому сенсі, що вони більше, ніж усі кінцеві номера, але не обов'язково абсолютно нескінченні. Термін трансфінітне число був придуманий Георгом Кантором, який хотів уникнути деяких наслідків використання терміну нескінченний у зв'язку з тими об'єктами, які не є скінченними. Небагато сучасних авторів поділяють ці сумніви, зараз прийнято використання для позначення кардиналів і трансфінітних ординалів як "нескінченний". Тим не менш, термін "трансфінітний" також залишається у використанні.

Визначення[ред.ред. код]

Як і з кінцевими числами, є два способи мислення трансфінітних чисел, це порядкові і кардинальні числа. На відміну від кінцевих ординалів і кардиналів, трансфінітів і кардиналів визначається різний клас чисел.

Континуум-гіпотеза стверджує, що не існує ніяких проміжних чисел ніж алеф-нуль і потужності континуума (безліч дійсних чисел): тобто, алеф-один це потужність множини дійсних чисел. (Якщо теорія Цермело-Френкеля (ZFC) несуперечлива, то ні континуум-гіпотези, ні його заперечення не може бути доведено з ZFC .)

Деякі автори як П. Суппес і Дж. Рубін, використовують термін трансфінітних кардиналів в умовах, коли це не може бути еквівалентно "нескінченного кардинала", тобто в умовах, коли Аксіома лічильного вибору не передбачається і не відома, щоб триматися. Виходячи з цього визначення, є наступні еквівалентні:

  • м це трансфінітний кардинал. Тобто, існує нескінченна безліч дедекіндових А такий, що потужність A є м.
  • м + 1 = м.
  • \scriptstyle {\aleph_0}м.
  • є кардинальне п таке, що \scriptstyle {\aleph_0} + п = м.

Історія[ред.ред. код]

В кінці 1883 році німецький вчений Георг Кантор, очевидно, оцінивши багатовікову історію послідовного узагальнення чисел, в якій натуральні числа були узагальнені раціональними, а ті в свою чергу - дійсними,а ті - комплексними,а ті - векторними,а ті - матричними, створив на цьому матеріалі свою теорію трансфінітних (нескінченних, позамежних) чисел. Для цього він назвав безліччю всякий набір елементів, який можна зіставити з частиною самого себе, як наприклад, цілі числа зіставляються з парними числами: Кантор помітив, що така безліч повинне містити нескінченне число елементів. А якщо ці елементи співставні з безліччю натуральних чисел, то їх кількість утворюється перша трансфінітних число א 0 (алеф-нуль - з івриту). Але безліч א 0 теж нескінченно багато, і вони разом, як кількість елементів нового безлічі, утворюють наступне трансфінітних число א 1. І так далі ... Такою гарною теорією Кантор завершив узагальнення чисел на 7-му рівні. І досі абстрактнішої за неї немає: поки ніщо не поглинуло трансфінітних числа. Однак правда й те, що трансфінітні числа не знайшли ще застосування за межами самої математики. Історія з нулем і комплексними числами знову повторюється для трансфінітних чисел: що ними можна моделювати? Вже більше століття не знають. Може, Кантор породив гарну, але мертву теорію? Кантор довго аналізував трансфінітні числа і встановив, що вони можуть моделювати або просто кількість (тоді це кількісні, кардинальні трансфінітні числа, наприклад - множина учнів у класі), або кількість і напрямок (тоді це порядкові, ординальні трансфінітні числа, наприклад - та ж множина учнів, але впорядкована за успішністю). Але ці властивості (кількість і напрямок) успішно моделюються числа менших рівнів узагальнення. А таблиця чисел підказує закономірність: щоб стати абстрактніше, нові числа повинні моделювати більше, розвиваючись від рівня до рівня або екстенсивно, міняючись кількісно (наприклад, в обліку моделюючих елементів числами рівнів 1, 2, 3: натуральні + нуль + негативні + ірраціональні; або в обліку модельованих напрямків числами рівнів 3, 4, 5, 6: одновимірно-двовимірні-тривимірні-багатомірні тощо).

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

Шаблон:Великі числа Шаблон:Нескінченність