Трансцендентні числа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Трансцендентні числа — комплексні числа, які не задовільняють жодному алгебраїчному рівнянню з раціональними коефіцієнтами.

Перші трансцендентні числа було сконструйовано Ліувіллєм за допомогою діофантових наближеннь. Незабаром, Ерміт довів трансцендентність числа e, a Ліндеманн — числа пі. Неконструктивне доведення існування трансцендентних чисел — майже тривіальний наслідок теорії множин Кантора.

Зміст 1 Властивості 2 Приклади 3 Історія 4 Література

[ред.] Властивості

• Множина трансцендентних чисел континуальна.
• Кожне трансцендентне дійсне число є ірраціональним, але зворотне невірно. Наприклад, число — ірраціональне, але не трансцендентне: воно є коренем многочлена x² − 2.

[ред.] Приклади

• Основа натуральних логарифмів число e
• Число π.
• Десятковий логарифм будь-якого цілого числа, окрім чисел 10ⁿ
• sin a, cos a і tg a, для будь-якого ненульового алгебопїчного числа а (згідно теореми Лінденманна — Вейерштрасса).

[ред.] Історія

Вперше поняття трансцендентного числа ввів Ж. Ліувилль в 1844, коли довів теорему про те, що алгебраїчне число неможливе доволі добре наблизити раціональним дробом. У 1873 Ш. Ерміт довів трансцендентність числа e (основи натуральних логарифмів). У 1882 Ліндеманн довів теорему про трансцендентність ступеня числа e з ненульовим алгебраїчним показником, тим самим довівши трансцендентність числа π і нерозв'язність завдання квадратури кола.

У 1900 на II Міжнародному Конгресі математиків Д. Гільберт в числі сформульованих ним проблем сформулював сьому проблему: «Якщо а ≠ 0, а— алгебраїчне числа і b — алгебраїчне, але ірраціональне, чи вірно, що a^b — трансцендентне число?» Зокрема, чи є трансцендентним число . Ця проблема була вирішена в 1934 А. О. Гельфондом (en:Alexander Gelfond), який довів, що всі такі числа дійсно є трансцендентними.

[ред.] Література

• Гельфонд А. О., Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952.
• Фельдман Н., [Алгебраические и трансцендентные числа](рос.), Квант, № 7, 1983.

Статті з математики, пов'язані з числами

Число | Натуральні числа | Цілі числа | Раціональні числа | Ірраціональні числа | Constructible numbers | Алгебраїчні числа | Computable numbers | Дійсні числа | Комплексні числа | Подвійні числа | Бікомплексні числа | Гіперкомплексні числа | Кватерніони | Октоніони | Седеніони | Superreal numbers | Hyperreal numbers | Surreal numbers | Nominal numbers | Ординальні числа | Кардинальні числа | p-adic numbers | Послідовності натуральних чисел | Математичні константи | Великі числа | Нескінченність