Тригонометрична тотожність Піфагора

Піфагорова тригонометрична тотожність стверджує, що для довільного кута A:

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$

Цю тотожність називають також тригонометричною одиницею.

Доведення

$c=\sqrt{a^2+b^2}$

$\sin A = \frac{a}{c} = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$\cos A = \frac{b}{c} = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$\begin{matrix}\sin^2(A) + \cos^2(A) & = & \left( \frac{a}{c} \right)^2 + \left( \frac{b}{c} \right)^2 \\ \ & = & \left ( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right )^2 + \left ( \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right )^2 \\ \ & = & \left ( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \times \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right ) + \left ( \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \times \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right ) \\ \ & = & \frac{a^2}{\left(\sqrt{a^2 + b^2}\right)^2} + \frac{b^2}{\left(\sqrt{a^2 + b^2}\right)^2} \\ \ & = & \frac{a^2}{a^2 + b^2} + \frac{b^2}{a^2 + b^2} \\ \ & = & \frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2} \\ \ & = & 1\end{matrix}$

Або:

$\begin{matrix}\sin^2(A) + \cos^2(A) & = & \left( \frac{a}{c} \right)^2 + \left( \frac{b}{c} \right)^2 \\ \ & = & \left ( \frac{a}{c} \times \frac{a}{c} \right ) + \left ( \frac{b}{c} \times \frac{b}{c} \right ) \\ \ & = & \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} \\ \ & = & \frac{a^2 + b^2}{c^2} \\ \ & = & \frac{a^2 + b^2}{\left(\sqrt{a^2 + b^2}\right)^2} \\ \ & = & \frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2} \\ \ & = & 1\end{matrix}$

Див. також

• Тригонометричні функції