Тригонометричні функції

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Тригонометри́чні фу́нкції — це функції кута. Вони можуть бути визначені як відношення двох сторін та кута трикутника або як відношення координат точок кола.

Відіграють важливу роль при дослідженні періодичних функцій та багатьох об'єктів. Наприклад, при дослідженні рядів, диференційних рівнянь.

Наведемо шість базових тригонометричних функцій. Останні чотири визначаються через перші дві. Іншими словами, вони є означеннями, а не самостійними сутностями.

  • синус (sin)
  • косинус (cos)
  • тангенс (tg = sin / cos)
  • котангенс (ctg = cos / sin)
  • секанс (sec = 1 / cos)
  • косеканс (csc = 1 / sin)

Означення[ред.ред. код]

Геометричне визначення[ред.ред. код]

Визначення кутів за допомогою прямокутного трикутника.
Визначення тригонометричних функцій на одиничному колі.

Тригонометричні функції можна визначити розглянувши прямокутний трикутник.
Косинусом кута називається відношення довжини прилеглого катета до довжини гіпотенузи:

\cos \alpha=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c},~~~\cos \beta=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{c}~.

Синусом кута називається відношення довжини протилежного катета до довжини гіпотенузи:

\sin \alpha=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{c},~~~\sin \beta=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c}~.
Тангенсом кута називається відношення довжини протилежного катета до довжини прилеглого катета:

\mbox{tg}~ \alpha=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{b},~~~\mbox{tg}~ \beta=\frac{AC}{BC}=\frac{b}{a}~.

Котангенсом кута називається відношення довжини прилеглого катета до довжини протилежного катета:

\mbox{ctg}~ \alpha=\frac{AC}{BC}=\frac{b}{a},~~~\mbox{ctg}~ \beta=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{b}~.

Аналогічним чином можна визначити тригонометричні функції на колі з одиничним радіусом.

Зв'язок з диференціальним рівнянням[ред.ред. код]

Один період функцій sin(x) та cos(x)

Функції \sin\, x та \cos\, x є розв'язками диференційного рівняння гармонічних коливань

{ d^2 y \over d{x^2}} + y = 0

\sin\, x та \cos\, x це періодичні функції із періодом \ 2 \pi,
\operatorname{tg}\, x та \operatorname{ctg}\, x мають період \ \pi.

Співвідношення, наведені нижче, дозволяють виразити значення тригонометричних функцій від довільного дійсного арґументу через значення функцій для аргументу із інтервалу [0,{\pi \over 2}]

\sin x = \cos \left({\pi \over 2} -x\right)
\cos x = \sin \left({\pi \over 2} -x\right)
\operatorname{tg} x = \operatorname{ctg} \left({\pi \over 2} -x\right)
\operatorname{ctg} x = \operatorname{tg} \left({\pi \over 2} -x\right)

Основні співвідношення[ред.ред. код]

Trigonometric functions.svg

Наступне співвідношення випливає із теореми Піфагора:

~\sin^2 x + \cos^2 x = 1

Теореми додавання та формули для кратних кутів[ред.ред. код]

Формули для функцій суми кутів[ред.ред. код]

Із основного співвідношення

\sin {\left ( \alpha + \beta \right ) }= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta

отримуємо

\sin {\left ( \alpha \pm \beta \right ) } =  \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta,
\cos {\left ( \alpha \pm \beta \right ) } =  \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta,
\operatorname{tg} {\left ( \alpha \pm \beta \right ) } = { {\operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta} \over {1 \mp \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} },~~~ \operatorname{ctg} {\left ( \alpha \pm \beta \right ) } = { {\operatorname{ctg} \alpha \operatorname{ctg} \beta \mp 1} \over  {\operatorname{ctg} \beta \pm \operatorname{ctg} \alpha} }

Формули для функцій подвійних кутів[ред.ред. код]

\sin {\left ( 2 \alpha \right )} = 2 \sin \alpha \cos \alpha
\cos {\left ( 2 \alpha \right )} = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2 \sin^2 \alpha
\operatorname{tg} {2 \alpha} = {{2 \operatorname{tg} \alpha} \over {1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} }~,~~~\operatorname{ctg} {2 \alpha} = {{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1} \over {2 \operatorname{ctg} \alpha} } = { 1 \over 2 } { \left ( \operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha \right ) }

Формули для функцій потрійних кутів[ред.ред. код]

\sin {\left ( 3 \alpha \right )} = 3 \sin \alpha - 4 \sin^3 \alpha~,~~~\cos {\left ( 3 \alpha \right )} = 4 \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha

Формули для функцій половинних кутів[ред.ред. код]

\sin {\alpha \over 2} = \sqrt { {1 - \cos \alpha} \over 2}~,~~~\cos {\alpha \over 2} = \sqrt { {1 + \cos \alpha} \over 2}
\operatorname{tg} {\alpha \over 2} = {\sin \alpha \over {1 + \cos \alpha}} = {{1 - \cos \alpha} \over \sin \alpha}~,~~~
\operatorname{ctg} {\alpha \over 2} = {\sin \alpha \over {1 - \cos \alpha}} = {{1 + \cos \alpha} \over \sin \alpha}

Формули для суми функцій кута[ред.ред. код]

a \sin A + b \cos B = r \sin {\left( A + B \right )} = r \cos \left( {\pi \over 2} - A -B \right),~{r = \sqrt {a^2 + b^2}},~  {tg B = {b \over a} }
\sin A \pm \sin B = 2 \sin {{A \pm B} \over 2} \cos {{A \mp B} \over 2}
\cos A + \cos B = 2 \cos {{A + B} \over 2} \cos {{A - B} \over 2}
\cos A - \cos B = - 2 \sin {{A + B} \over 2} \sin {{A - B} \over 2}
\operatorname{tg} A \pm \operatorname{tg} B = {\sin {A \pm B} \over {\cos A \cos B}}~,~~
\operatorname{ctg} A \pm \operatorname{ctg} B = {\sin {B \pm A} \over {\sin A \sin B}}

Загальні формули для функцій кратних кутів[ред.ред. код]

Якщо n є цілим додатнім числом, то

\sin {n A} = {n \choose 1} \cos^{n -1} A \sin A - {n \choose 3} \cos^{n - 3} A \sin^3 A + {n \choose 5} \cos^{n - 5} A \sin^5 A \mp \cdots
\cos {n A} = \cos^n A - {n \choose 2} \cos^{n - 2} A \sin^2 A + {n \choose 4} \cos^{n - 4} A \sin^4 A \mp \cdots


Загальні формули для степенів функцій[ред.ред. код]

Якщо n є цілим непарним числом, то

\sin^n x = { {(-1)^{{n-1} \over 2}} \over {2^{n-1}} }
\left [ 
            \sin {n x} 
            - 
            {n \choose 1}
            \sin {(n-2)  x}
            +
            {n \choose 2}
            \sin {(n - 4)  x}
            -
            {n \choose 3}
            \sin {(n - 6)  x}
            + \cdots +
            (-1)^{{n-1} \over 2} 
            {n \choose {{n-1} \over 2}}
            \sin x
\right ]

\cos^n x = { \left ( { 1 \over 2 } \right ) }^{n - 1}
\left [ 
            \cos {n x} 
            + 
            {n \choose 1}
            \cos {(n-2)  x}
            +
            {n \choose 2}
            \cos {(n - 4)  x}
            +
            {n \choose 3}
            \cos {(n - 6)  x}
            +
            \cdots
            +
            {n \choose {{n-1} \over 2}}
            \cos x
\right ]


Якщо n є цілим парним числом, то

\sin^n x = {{{\left ( -1 \right )}^{{n \over 2}} } \over {2^{n - 1} } }
\left [ 
            \cos {n x} 
            - 
            {n \choose 1} 
            \cos {(n-2)  x}
            +
            {n \choose 2}
            \cos {(n-4)  x}
            -
            {n \choose 3} 
            \cos {(n-6)  x}
            +
            \cdots
            +
            {\left ( -1 \right )}^{{n-2} \over 2} 
            {n \choose {{n-2} \over 2}}
            \cos {2 x} 
\right ]
            +
            {n \choose {n \over 2}}^{1 \over 2^n}
\cos^n x = {\left ( {1 \over 2} \right ) }^{n - 1}
\left [ 
            \cos {n x} 
            + 
            {n \choose 1} 
            \cos {(n - 2)  x}
            +
            {n \choose 2}
            \cos {(n - 4)  x}
            +
            {n \choose 3}
            \cos {(n - 6)  x}
            +
            \cdots
            +
            {n \choose {{n-2} \over 2}}
            \cos {2 x} 
\right ]
            +
            {n \choose {n \over 2}}^{1 \over 2^n}

Розклади в ряд Тейлора[ред.ред. код]

Існують такі розклади в ряд Тейлора тригонометричних функцій:

\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}

\begin{align}
\tan x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{U_{2n+1} x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\
& {} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \\
& {} = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots, \qquad \text{for } |x| < \frac {\pi} {2}
\end{align}

де

Un n-те перетворення Бустрофедона,
Bn числа Бернуллі, та
En числа Ейлера.

\begin{align}
\csc x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1} 2 (2^{2n-1}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \\
& {} = \frac {1} {x} + \frac {x} {6} + \frac {7 x^3} {360} + \frac {31 x^5} {15120} + \cdots, \qquad \text{for } 0 < |x| < \pi
\end{align}



\begin{align}
\sec x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{U_{2n} x^{2n}}{(2n)!}
= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!} \\
& {} = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots, \qquad \text{for } |x| < \frac {\pi} {2}
\end{align}

\begin{align}
\cot x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \\
& {} = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots, \qquad \text{for } 0 < |x| < \pi
\end{align}


Зв'язок з експонентою та комплексними числами[ред.ред. код]

Використовуючи вищенаведені розклади в ряди Тейлора можна показати, що функції sin та cos є уявною та дійсною частинами експоненти чисто уявного числа:

 e^{i \theta} = \cos\theta + i\sin\theta. \,

Це співвідношення називається формулою Ейлера.

Можна визначити тригонометричні функції комплексної змінної z:

\sin z = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} \, = \, {e^{i z} - e^{-i z} \over 2i} = -i \sinh \left( i z\right),
\cos z = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} \, = \, {e^{i z} + e^{-i z} \over 2} = \cosh \left(i z\right)

де i 2 = −1, а \sinh x та \cosh x — відповідно гіперболічні синус та косинус. Для дійсного x мають місце співвідношення

\cos x = \mbox{Re } (e^{i x})~,~~~~\sin x = \mbox{Im } (e^{i x})
Комплексний синус
Комплексний косинус
Комплексний тангенс

Диференціювання та інтегрування[ред.ред. код]

\ \ \ \ f(x) \frac{d}{dx} f(x) \int f(x)\,dx
\,\ \sin x \,\ \cos x \,\ -\cos x + C
\,\ \cos x \,\ -\sin x \,\ \sin x + C
\,\ \tan x \,\ \sec^{2} x -\ln \left |\cos x\right | + C
\,\ \cot x \,\ -\csc^{2} x \ln \left |\sin x\right | + C
\,\ \sec x \,\ \sec{x}\tan{x} \ln \left |\sec x + \tan x\right | + C
\,\ \csc x \,\ -\csc{x}\cot{x} -\ln \left |\csc x + \cot x\right | + C

Джерела[ред.ред. код]

  • Г. Корн, Т. Корн «Справочник по математике для научных работников и инженеров»

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]