Тригранник Френе

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Тригранник Френе вздовж гвинтової лінії. Вектори \tau — синій, \nu — червоний, \beta — чорний.

Тригранник або репер Френе — це природна рухома система в тривимірному просторі, що виникає на C3-гладкій кривій.

Нехай \gamma(t) — C3-гладка крива в Евклідовому просторі \mathbb E^3. Крива задана радіус-вектором r=r(s), де s — натуральний параметр. З точкою ненульової кривини p\in\gamma(t),\ p=r(s) можна зв'язати три вектори \tau(s),\nu(s),\beta(s), які утворюють ортонормований базис. Де

\tau = \dot{r}(s) — одиничний дотичний вектор,
\nu  = \frac{\ddot{r}(s)}{||\ddot{r}(s)||} — одиничний вектор головної нормалі,
\beta= [\tau,\nu]  — одиничний вектор бінормалі до кривої в даній точці.

Вектори {\tau}, {\nu}, {\beta} зв'язані співвідношеннями:

 
\begin{matrix}
\frac{d\tau}{ds} &=& & k \nu & \\
&&&&\\
\frac{d\nu}{ds} &=& - k \tau & &+\, \kappa \beta\\
&&&&\\
\frac{d\beta}{ds} &=& & -\kappa \nu &
\end{matrix}

Величини

 k = ||\ddot\gamma (s)||, \quad \kappa = - \langle \dot{\beta},\; {\nu} \rangle

називають, відповідно, кривиною та скрутом кривої в даній точці. Рівняння виду k = f(s)\in C^1, \ \kappa = g(s)\in C^0,\, де f(s) усюди додатня називаються натуральними рівняннями кривої та визначають її з точністю до руху у просторі. Це твердження називають основною теоремою теорії кривих.

Формули Френе також відомі як теореми Френе, можна сформулювати, більш стисло, використовуючи матричні позначення:

 \begin{bmatrix} \mathbf{T'} \\ \mathbf{N'} \\ \mathbf{B'} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \kappa & 0 \\ -\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{T} \\ \mathbf{N} \\ \mathbf{B} \end{bmatrix}.

Ця матриця буде кососиметричною.

Визначення[ред.ред. код]

T та N вектори у двох точках на плоскій кривій, переносимо вектор T (позначено пунктиром), різницю векторів позначимо, як δT. Відстань між точками позначимо δs. Границя \tfrac{d\mathbf{T}}{ds} буде в напрямку N і кривина описує швидкість обертання репера.

Нехай r(t) — це крива в евклідовому просторі, що представлена радіус-вектором як функція, залежна від часу. Формули Френе-Серрі виконуються для невироджених кривих. Це криві, у яких вектор швидкості r'(t) та вектор прискорення r"(t) не будуть паралельними.

Нехай s(t) задається довжиною дуги, яка змінюється вздовж частини кривої. У випадку, коли крива задана ненатуральною параметризацією, можна перейти до неї за допомогою наступної формули:

s(t)=\int_0^t \|\mathbf{r}'(\sigma)\|d\sigma.

Більш того, з того, що r′ ≠ 0 слідує, що s(t) — строго монотонно зростаюча функція. Tому візьмемо t як функцію, залежну від s, і запишемо у вигляді: r(s) = r(t(s)). Тоді, крива буде параметризована за допомогою довжини дуги.

Примітки[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]