Тригранник Френе

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Тригранник Френе вздовж гвинтової лінії. Вектори \tau — синій, \nu — червоний, \beta — чорний.

Тригранник або репер Френе — це природна рухома система в тривимірному просторі, що виникає на C3-гладкій кривій.

Нехай \gamma(t) — C3-гладка крива в Евклідовому просторі \mathbb E^3. Крива задана радіус-вектором r=r(s), де s — натуральний параметр. З точкою ненульової кривини p\in\gamma(t),\ p=r(s) можна зв'язати три вектори \tau(s),\nu(s),\beta(s), які утворюють ортонормований базис. Де

\tau = \dot{r}(s) — одиничний дотичний вектор,
\nu  = \frac{\ddot{r}(s)}{||\ddot{r}(s)||} — одиничний вектор головної нормалі,
\beta= [\tau,\nu]  — одиничний вектор бінормалі до кривої в даній точці.

Вектори {\tau}, {\nu}, {\beta} зв'язані співвідношеннями:

 
\begin{matrix}
\frac{d\tau}{ds} &=& & k \nu & \\
&&&&\\
\frac{d\nu}{ds} &=& - k \tau & &+\, \kappa \beta\\
&&&&\\
\frac{d\beta}{ds} &=& & -\kappa \nu &
\end{matrix}

Величини

 k = ||\ddot\gamma (s)||, \quad \kappa = - \langle \dot{\beta},\; {\nu} \rangle

називають, відповідно, кривиною та скрутом кривої в даній точці. Рівняння виду k = f(s)\in C^1, \ \kappa = g(s)\in C^0,\, де f(s) усюди додатня називаються натуральними рівняннями кривої та визначають її з точністю до руху у просторі. Це твердження називають основною теоремою теорії кривих.[1]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Борисенко, О. А., Диференціальна геометрія і топологія : Навч. посібник для студ. — Харків : Основа, 1995 . с. 44

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]